tứ giác nội tiếp có tính chất gì

Bạn đang xem: tứ giác nội tiếp có tính chất gì

Định nghĩa: Một tứ giác đem tư đỉnh phía trên một đàng tròn xoe được gọi là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Đường tròn xoe này được gọi là đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tứ giác và những đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm đàng tròn xoe được gọi là tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp, còn nửa đường kính đàng tròn xoe được gọi là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp.

Ví dụ: Trong hình a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe tâm O vì như thế đem cả tư đỉnh A, B, C, D đều phía trên đàng tròn xoe tâm O.

           Trong hình b) tứ giác MNPE ko nên là tứ giác nội tiếp vì như thế đem điểm E ko phía trên đàng tròn xoe tâm O.

2. Tính hóa học của tứ giác nội tiếp:

Tứ giác nội tiếp đem những đặc thù sau đây:

Thứ nhất, Mọi tam giác đều phải sở hữu một đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tuy nhiên ko nên từng tứ giác đều nội tiếp đàng tròn xoe.

Thứ nhì, Tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp của tứ giác nội tiếp là phó điểm của những đàng trung trực của những cạnh tứ giác. Nói cách thứ hai, tứ giác đem 4 đỉnh cơ hội đều một điểm cố định và thắt chặt tuy nhiên tớ rất có thể xác lập được thì điểm này đó là tâm của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tứ giác.

Thứ tía, Nếu tứ giác nội tiếp đem nhì góc đối lập là góc vuông thì tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp là trung điểm của đàng chéo cánh tiếp nối nhì đỉnh bại.

Thứ tư, Nếu tứ giác nội tiếp đem nhì góc vuông nằm trong nhìn một cạnh chứa chấp nhì đỉnh sót lại thì tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp là trung điểm của cạnh tuy nhiên nhì góc nằm trong nhìn nhập cạnh bại.

3. Định lí về tứ giác nội tiếp:

Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo nhì góc đối nhau tự 180º.

Ví dụ: Cho hình tứ giác ABCD đem tư đỉnh phía trên đàng tròn xoe tâm O. Chứng minh rằng: góc A + góc C = 180º  và góc B + góc D = 180º

Ta có: Góc A là góc nội tiếp chắn cung BCD => Góc A = 50% cung BCD.

Góc C là góc nội tiếp cung BAD => Góc C =1/2 cung BAD.

Do đó: Góc A + góc C = 50% cung BCD + 50% cung BAD.

<=> Góc A + góc C = 50% ( cung BCD + cung BAD )

<=> Góc A + góc C = 50%.360º

<=> Góc A + góc C = 180º

Ta có: Góc B là góc nội tiếp chắn cung ADC => Góc B = 50% cung ADC

Góc D là góc nội tiếp chắn cung ABC => Góc D = 50% cung ABC

Do đó: Góc B + góc D = 50% cung ADC + 50% cung ABC

<=> Góc B + góc D = 1/2( cung ADC + cung ABC)

<=> Góc B + góc D = 50%.360º

<=> Góc B + góc D = 180º

Kết luận: Góc A + góc C = 180º và Góc B + góc D = 180º.

Định lí đảo: Nếu một tứ giác đem tổng số đo nhì góc đối nhau tự 180º thì tức giác bại nội tiếp được đàng tròn xoe.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD đem góc B + góc D = 180º. Vì điểm A, B, C ko trực tiếp sản phẩm nên tớ vẽ đàng tròn xoe tâm O qua loa tía điểm A, B, C. Khi bại, nhì điểm A và C phân tách đàng tròn xoe tâm O trở thành nhì cung ABC và AmC.

Ta có: góc AmC là cung chứa chấp góc (180º – góc B) dựng bên trên đoạn trực tiếp AC.

Từ fake thiết, suy ra: góc D = 180º – góc B

Kết luận: Vậy điểm D phía trên cung AmC => Tứ giác ABCD đem tư đỉnh phía trên đàng tròn xoe tâm O.

4. Dấu hiệu nhận biết:

Tứ giác đem tổng nhì góc đối nhau tự 180º.

Ví dụ: Góc A + góc C =180º  nên tứ giác ABCD nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.

Tứ giác đem tư đỉnh phía trên và một đàng tròn xoe.

Ví dụ: OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp đàng tâm O.

Tứ giác hình thang cân nặng, hình chữ nhật hoặc hình vuông vắn nội tiếp được đàng tròn xoe.

Ví dụ: Vì tứ giác ABCD là hình vuông vắn nên tứ giác ABCD nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.

Tứ giác mang 1 góc ngoài bên trên một đỉnh tự góc nhập đỉnh đối lập.

Ví dụ: Tứ giác ABCD đem góc ngoài D1 = góc B nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.

Tứ giác đem nhì đỉnh kề nhau nằm trong nhìn cạnh chứa chấp nhì đỉnh sót lại bên dưới và một góc.

Ví dụ: Tứ giác ABCD đem nhì góc A1 và góc B1 nằm trong nhìn cạnh DC và góc A1 = góc B1 nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.

5. Các dạng toán thông thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp.

– Cách 1: Chứng minh tứ giác đem tổng nhì góc đối nhau tự 180º.

– Cách 2: Chứng minh tư đỉnh của tứ giác cơ hội đều một điểm.

– Cách 3: Chứng minh tứ giác đem góc ngoài bên trên một đỉnh tự góc nhập của đỉnh đối lập.

– Cách 4: Chúng minh tứ giác đem nhì đỉnh kề nhau nằm trong nhìn cạnh chứa chấp nhì đỉnh sót lại bên dưới và một góc.

Dạng 2: Chứng minh những góc cân nhau, những đoạn trực tiếp cân nhau, những đường thẳng liền mạch tuy nhiên song hoặc đồng quy, những tam giác đồng dạng, hệ thức Một trong những cạnh,…

6. Bài tập luyện vận dụng:

Bài tập luyện 1: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ những đàng cao AD, BE, CF hạn chế nhau bên trên điểm H. Hãy chứng tỏ rằng:

a) Tứ giác BCEF nội tiếp đàng tròn xoe.

b) HD.HA = HE.HB = HF.HC.

Hướng dẫn giải:

Xem thêm: đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất

a) Ta có: góc BEC = góc BFC = 90º.

=> Các điểm E, F nằm trong phía trên đàng tròn xoe đem 2 lần bán kính BC.

=> Tứ giác BCEF nội tiếp đàng tròn xoe.

b) Vẽ đàng tròn xoe tâm O đem BC là 2 lần bán kính.

Xét tam giác BHF và tam giác CHE, tớ có:

– Góc EBF = góc ECF ( là nhì góc nội tiếp nằm trong chắn )

– Góc FHB = góc EHC ( là nhì góc đối đỉnh )

=> Tam giác BHF = tam giác CHE.

Ta có: BH/CH = HF/HE hoặc HE.HB = HF.HC (1)

Chứng minh tương tự động như bên trên, tớ có: HD.HA = HE.HB (2)

Từ (1) và (2) => HD.HA = HE.HB = HF.HC ( điều nên chứng tỏ ).

Bài tập luyện 2: Cho 50% đàng tròn xoe tâm O đem 2 lần bán kính AB. Trên đoạn trực tiếp OA lấy điểm M, bên trên nửa đàng tròn xoe (O) lấy điểm N. Từ điểm A và B vẽ những đàng tiếp tuyến Ax và By. Vẽ đường thẳng liền mạch qua loa điểm N sao mang lại đường thẳng liền mạch này vuông góc với NM và hạn chế tia Ax và By bên trên những điểm theo thứ tự là C và D. Hãy chứng tỏ rằng:

a) Tứ giác ACNM và tứ giác BDNM là những tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe.

b) Tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD.

c) Tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tứ giác ACNM, tớ có: góc MNC = 90° ( bám theo đặc thù tiếp tuyến )

=> góc MNC + góc MAC = 180° . Suy đi ra tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính MC.

Xét tứ giác BDNM, tớ có: góc MND = 90º

=> góc MND + góc MBD = 180º. Suy đi ra tứ giác BDNM là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính MD.

b) Xét tam giác ANB và tam giác CMD, tớ có: góc ABN = góc CDM ( tứ giác BDNM nội tiếp) và góc BAN = góc DCM  (tứ giác ACNM nội tiếp)

Suy đi ra tam giác ANB đồng dạng tam giác CMD.

c) Xét tam giác ANB đồng dạng tam giác CMD, tớ có:  góc CMD = góc ANB = 90° (do góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đàng tròn xoe tâm O)

=> góc IMK = góc INK = 90°. Suy ra: góc INK + góc IMK = 180°

Kết luận: Vậy tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe đem IK là 2 lần bán kính.

Bài tập luyện 3: Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Lấy điểm D bên trên cạnh AC. Hình chiếu của điểm D lên BC là vấn đề E, lấy điểm F là vấn đề đối xứng của điểm E qua loa BD. Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, E, D, F nằm trong phía trên một đàng tròn xoe. Hãy xác lập tâm O của đàng tròn xoe bại.

Hướng dẫn giải:

Ta có: DE vuông góc với BC . Suy ra: góc DBE = 90°

Vì E và F đối xứng cùng nhau qua loa BD => BD là đàng trung trực của đoạn trực tiếp EF => BE = BF và DE = DF.

Vì tam giác BFD = tam giác BED. Suy ra: góc BFD = góc BED = 90°

Gọi O là trung điểm của BD => OB = OD.

Xét tam giác vuông ABD vuông bên trên A đem AO là đàng trung tuyến => AO = 50% BD = OB = OD (1)

Xét tam giác vuông BDE vuông bên trên E đem OE là đàng trung tuyến => EO = 50% BD = OB = OD (2)

Xét tam giác vuông BFD vuông bên trên F đem OF là đàng trung tuyến => FO = 50% BD = OB = OD (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:  OA = OB = OD = OE = OF

Kết luận : Vậy 5 điểm A, B, E, D, F nằm trong phía trên một đàng tròn xoe tâm O và O là trung điểm của BC.

Bài tập luyện 4: Cho tam giác nhọn ABC đem góc A > góc B > góc C. Đường tròn xoe nội tiếp tâm I xúc tiếp với cạnh AB, AC theo thứ tự bên trên những điểm M và N. Gọi điểm P.. và Q theo thứ tự là những phó điểm của CI, BI với đường thẳng liền mạch MN. Hãy chứng tỏ rằng:

a) Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.

b) Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải: 

a)  Vì đàng tròn xoe tâm I xúc tiếp với cạnh AB và cạnh AC theo thứ tự bên trên những điểm M và N nên AM = AN

=> Tam giác AMN cân nặng bên trên A.

Ta có: góc CNQ = góc ANM ( nhì góc đối đỉnh)

= (180^o – góc A)/2 = ( góc B +  góc C)/2

=góc IBC + góc ICB = góc CIQ

Trong tứ giác INQC đem nhì điểm thường xuyên là vấn đề I và N nằm trong nhìn cạnh QC bên dưới những góc cân nhau nội tiếp được một đàng tròn xoe. => Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.

b) Vì tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp => góc INC = góc IQC

Vì AC xúc tiếp với đàng tròn xoe tâm I bên trên điểm N => IN ⊥ AC hoặc góc INC = 90º => góc IQC = 90^o  (1)

Chứng minh tương tự động câu a) tớ đem tứ giác IMPB là tứ giác nội tiếp => góc IMB = góc IPB = 90º (2)

Từ (1) và (2) => góc BPC = góc BQC = 90^o => Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp đàng tròn xoe đem 2 lần bán kính BC.

Xem thêm: đạo hàm f(x)^2