tổng hợp kiến thức toán 10 học kì 2

Lựa lựa chọn câu nhằm coi lời nói giải nhanh chóng hơn

Bạn đang xem: tổng hợp kiến thức toán 10 học kì 2

Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình

Các phép đổi khác bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định bên trên D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

b) Phép nhân:

* Nếu f(x) > 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x).f(x) < Q(x).f(x)

* Nếu f(x) < 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x).f(x) > Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) \( \ge \)0 và Q(x) \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \)\({P^2}(x) < {Q^2}(x)\)

2. Dấu của nhị thức số 1

a) Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b

* Chú ý: Với a > 0 tao có:

\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow  - a \le f(x) \le a\)

\(\left| {f(x)} \right| \ge a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) \le  - a\\f(x) \ge a\end{array} \right.\)

3. Phương trình và hệ bất phương trình số 1 nhì ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by \( \le c\) (1) (\({a^2} + {b^2}\)\( \ne 0\))

Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (\(\Delta \)): ax + by \( = c\)

Bước 2: Lấy \({M_o}({x_o};{y_o}) \notin (\Delta )\) (thường lấy \({M_o} \equiv O\))

Bước 3: Tính axo + byo và sánh sánh axo + byo và c.

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) ko chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) tao được miền nghiệm của bpt  ax + by < c. Miền nghiệm của các bpt ax + by \( \ge c\)và ax + by \( > c\)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình vô hệ, tao xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau khi làm như bên trên lần lượt đối với tất cả các bpt vô hệ bên trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại ko bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã mang lại.

4. Dấu của tam thức bậc hai

a. Định lí về lốt của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc nhì f(x) = ax2 + bx  + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2 – 4ac

* Nếu \(\Delta \)< 0 thì f(x) nằm trong lốt với thông số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \in \)R

* Nếu \(\Delta \)= 0 thì f(x) nằm trong lốt với thông số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \ne \)\(\frac{{ - b}}{{2a}}\)

* Nếu \(\Delta \)> 0 thì f(x) nằm trong lốt với thông số a khi x < x1 hoặc x > x2; f(x) trái ngược lốt với thông số a khi x1 < x < x2. (Với x1, x2 là nhì nghiệm của f(x) và x1< x2)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2  + bx  + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2– 4ac > 0

b. Dấu của nghiệm số

Cho f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0

a) ax2 + bx + c = 0 đem nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\Delta \)= b2– 4ac \( \ge \)0            

b) ax2 + bx + c = 0 đem 2 nghiệm trái ngược lốt \( \Leftrightarrow \)a.c < 0

c) ax2 + bx + c = 0 đem 2 nghiệm nằm trong lốt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\a.c > 0\end{array} \right.\)

c) ax2 + bx + c = 0 đem những nghiệm dương \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} > 0\\S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} > 0\end{array} \right.\)           

d) ax2 +bx +c = 0 đem những nghiệm âm \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} > 0\\S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} < 0\end{array} \right.\)

Chú ý: Dấu của tam thức bậc nhì luôn luôn trực tiếp nằm trong lốt với thông số a khi \(\Delta  < 0\)

i) ax2 +bx +c >0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)

ii) ax2 +bx +c <0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)                           

iii) ax2 +bx +c \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

iv) ax2 +bx +c \( \le \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

5. Bất phương trình bậc hai

a. Định nghĩa:

Bất phương trình bậc 2 là bpt đem dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x) \( \ge \)0, f(x) < 0, f(x) \( \le \) 0), vô cơ f(x) là 1 trong tam thức bậc nhì. ( f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0 )

b. Cách giải:

Để giải bất pt bậc nhì, tao vận dụng quyết định lí vầ lốt tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái ngược vì chưng f(x), rồi xét lốt f(x)

Bước 2: Dựa vô bảng xét lốt và chiều của bpt nhằm Tóm lại nghiệm của bpt

Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Các hệ thức lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\2)\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha  \ne k\pi } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )\\5)1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha  \ne k\pi )\\6)\tan \alpha .\cot \alpha  = 1(\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2})\end{array}\)

2. Giá trị lượng giác của góc (cung) đem tương quan quánh biệt

\(\begin{array}{l}\sin \alpha  = \sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right)\\\cos \alpha  = \cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan \alpha  = \tan \left( {\alpha  + k\pi } \right)\\\cot \alpha  = \cot \left( {\alpha  + k\pi } \right)\end{array}\)

+) Góc đối nhau (\(\alpha \) và \( - \alpha \))

\(\cos ( - \alpha )\,\, = \,\,\cos \alpha \)

\(\sin ( - \alpha )\,\, = \,\, - \sin \alpha \)

\(\tan ( - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \)

\(\cot ( - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \)

+) Góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi  - \alpha \))

\(\sin (\pi  - \alpha )\,\, = \,\,\sin \alpha \)

\(\cos (\pi  - \alpha )\,\, = \,\, - \cos \alpha \)

\(\tan (\pi  - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \)

\(\cot (\pi  - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \)

+) Góc phụ nhau(\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2} - \alpha \))

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cos \alpha \)

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\sin \alpha \)

\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cot \alpha \)

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\tan \alpha \)

3. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\\\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\)

4. Công thức nhân song, hạ bậc

a) Công thức nhân đôi

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)

Xem thêm: cách tính diện tích hình bình hành toán lớp 4

\(\begin{array}{l}\cos 2\alpha \\ = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \,\\ = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\\ = \,\,1 - 2{\sin ^2}\alpha \end{array}\)

\(\tan 2\alpha \,\, = \,\,\frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)

b) Công thức hạ bậc                                                         

\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha \,\, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\)

5. Công thức đổi khác tích trở thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\\\sin a\sin b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\end{array}\)

6. Công thức đại dương thay đổi tổng trở thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)      

\(\begin{array}{l}\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\)

Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng vô tam giác

a. Các hệ thức lượng vô tam giác

Cho tam giác ABC đem BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = \({m_a}\), BN = \({m_b}\), CP = \({m_c}\)

Định lý cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

cosB = \(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)         

cosC = \(\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Định lý sin

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)= 2R

(với R là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác ABC )

b. Độ lâu năm lối trung tuyến của tam giác

\({m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4}\);

\({m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4}\)

\({m_c}^2 = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {a^2}) - {c^2}}}{4}\)

c. Các công thức tính diện tích S tam giác

S = \(\frac{1}{2}\)aha = \(\frac{1}{2}\)bhb  = \(\frac{1}{2}\)chc

S = \(\frac{1}{2}\)ab.sinC = \(\frac{1}{2}\)bc.sinA = \(\frac{1}{2}\)ac.sinB

S = \(\frac{{abc}}{{4R}}\)

S = pr

S = \(\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) với \(p = \frac{1}{2}(a + b + c) \)

2. Phương trình lối thẳng

* Để viết lách được phương trình đường thẳng liền mạch dạng thông số cần được hiểu rằng toạ phỏng một điểm và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết lách được phương trình đường thẳng liền mạch dạng tổng quát mắng nên biết được toạ phỏng một điểm và 1 vectơ trừng trị tuyến

a. Phương trình thông số của đường thẳng liền mạch d

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + t{u_1}}\\{y = {y_0} + t{u_2}}\end{array}} \right.\) với M (\({x_0};{y_0}\))\(\in d\) và \(\vec u = ({u_1};{u_2})\) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình tổng quát mắng của đường thẳng liền mạch d

a(x –  \({x_0}\)) + b(y –  \({y_0}\)) = 0 hay  ax + by + c = 0  

(với  c = – a\({x_0}\)–  b\({y_0}\)  và a2 + b2 \(\ne\) 0)  trong cơ M (\({x_0};{y_0}\)) \(\in d\) và \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng hạn chế nhì trục tọa phỏng tại nhì điểm A(a; 0) và B(0; b) với \(ab\ne 0\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

+) Phương trình đường thẳng liền mạch trải qua điểm M (\({x_0};{y_0}\)) đem thông số góc k  có dạng: hắn –  \({y_0}\)= k (x  – \({x_0}\))

c. Khoảng cơ hội kể từ mội điểm M (\({x_0};{y_0}\)) cho tới lối thẳng d: ax + by + c = 0  được xem theo dõi công thức:

d(M; d) = \(\frac{{\left| {a{x_0} + b{x_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

d. Vị trí kha khá của hai tuyến đường thẳng

\({\Delta _1}\): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}\)= 0

\({\Delta _2}\): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}\)= 0

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\);

Tọa độ uỷ thác điểm của \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}{\rm{ = 0}}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}{\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\)

\({\Delta _1}\)//\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

\({\Delta _1}\)\( \equiv \)\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) (với \({a_2}\),\({b_2}\),\({c_2}\)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình lối tròn trĩnh tâm I(a; b) bán kính R đem dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2   (1)   

hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0  (2)

với c = a2 + b2 – R2

+) Với điều kiện  a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình lối tròn trĩnh tâm I(a; b) nửa đường kính R

+) Vị trí kha khá của đường thẳng liền mạch và lối tròn

d cắt ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) < R

d ko có điểm công cộng với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) > R

d tiếp xúc với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp tuyến với lối tròn

Dạng 1: Điểm A nằm trong lối tròn

Dạng 2: Điểm A ko nằm trong lối tròn

Dạng 3: lõi phương trình tiếp tuyến của lối tròn trĩnh vuông góc hoặc tuy nhiên song với cùng một đường thẳng liền mạch này đó

4. Phương trình Elip

a. Trong mặt phẳng Oxy mang lại 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một số trong những a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Hay (E) =\(\{ M/{F_1}M + {F_2}M = 2a\} \)

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a2 = b2 + c2)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai xài điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b    

Tiêu cự F1F2 = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm vô hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = \( \pm \)a, hắn = \( \pm \)b

Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

Loigiaihay.com

Xem thêm: cách chứng minh 2 đường thẳng song song