phương trình đường phân giác trong không gian

Cách Viết phương trình lối phân giác của 2 đường thẳng liền mạch vô không khí Oxyz

Phương pháp lập phương trình lối phân giác

Giả sử cần thiết viết lách phương trình lối phân giác d’ của góc nhọn tạo nên bởi d và ∆

Bạn đang xem: phương trình đường phân giác trong không gian

- Cách 1: Tìm phú điểm $A=d\cap \Delta $

Tính $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|$

Kiểm tra góc thân thuộc $\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)$, nếu như $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}>0\Rightarrow cos\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)>0\Rightarrow \overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc nhọn và nếu như $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}<0\Rightarrow cos\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)<0\Rightarrow \overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc tù.

- Cách 2: Nếu $\overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc nhọn thì $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}+\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$

Nếu $\overset\frown{\left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)}$là góc tù thì $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}-\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$

Cách 2: Lấy điểm B thuộc d, mò mẫm điểm C trên ∆ sao cho AB = AC

Ta được 2 điểm $C\in \Delta $thỏa mãn AB = AC

Chọn điểm C sao cho tới $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}>0\Rightarrow \overset\frown{BAC}$là góc nhọn, lối thẳng d’ qua trung điểm I của BC và đem vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Bài luyện trắc nghiệm viết lách phương trình đường phân giác trong không gian đem đáp án chi tiét

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d và ∆ cắt nhau bên trên $A(1;1;1)$

Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(3;4;0)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=5$và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(1;-2;2)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|=3$

Do ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=-5<0\Rightarrow cos\left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)<0\Rightarrow \widehat{\left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)}$là góc tù

Một VTCP của lối phân giác d’ cần lập là:

$\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}-\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\frac{\left( 3;4;0 \right)}{5}-\frac{\left( 1;-2;2 \right)}{3}=\frac{-2}{15}\left( -2;11;-5 \right)$

Vậy phương trình lối phân giác cần thiết mò mẫm là: $d':\left\{ \begin{array}  {} x=1+2t \\  {} y=1+11t \\  {} z=1-5t \\ \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}  {} x=-1+2t \\  {} y=-10+11t \\  {} z=6-5t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Xem thêm: một tam giác có 3 cạnh là 13 14 15 diện tích tam giác bằng bao nhiêu

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d và ∆ cắt nhau bên trên $A(1;2;3)$

Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(1;1;0)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{2}$và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(0;-7;-1)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|=5\sqrt{2}$

Do $\cos \left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)=-7<0\Rightarrow \widehat{\left( {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{u}}_{d}} \right)}$là góc tù

Một VTCP của lối phân giác d’ cần lập là:

$\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\frac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}-\frac{\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\frac{\left( 1;1;0 \right)}{\sqrt{2}}-\frac{\left( 0;-7;-1 \right)}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}\left( 5;12;1 \right)$

Vậy phương trình lối phân giác cần thiết mò mẫm là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+5t \\  {} y=2+12t \\  {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ hay$\left\{ \begin{array}  {} x=-4+5t \\  {} y=-10+12t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy d₁; d₂ cắt nhau bên trên $A(2;-1;1)$. Lấy điểm $B(4;1;2)\in {{d}_{1}}$khi đó AB = 3

Gọi $C(2+2t;-1-2t;1+t)\in {{d}_{2}}$. Giải $AB=AC\Rightarrow 9{{t}^{2}}=9\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} C(4;-3;2) \\  {} C(0;1;0) \\ \end{array} \right.$

Ta lấy điểm $C(4;-3;2)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}(2;2;1) \\  {} \overrightarrow{AC}(2;-2;1) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1>0$nên $\widehat{CAB}$nhọn (như vậy tình huống $C(0;1;0)$sẽ bị loại)

Trung điểm của BC là $I(4;-1;2)$suy rời khỏi phân giác góc nhọn $\widehat{CAB}$là $\Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=2+2t \\  {} y=-1 \\  {} z=1+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi $A(1;1;1)$ là phú điểm của $({{\Delta }_{1}}),({{\Delta }_{2}})$

Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{1}}=(1;2;2)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|=3$và ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=(1;2;-2)\Rightarrow \left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|=3$

Do ${{\overrightarrow{u}}_{1}}.{{\overrightarrow{u}}_{2}}=1>0\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}={{\overrightarrow{u}}_{1}}+{{\overrightarrow{u}}_{2}}=(2;4;0)=2(1;2;0)$

Phương trình lối phân giác d của góc nhọn tạo nên bởi ∆₁ và ∆₂ là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=1+2t(t\in \mathbb{R}) \\  {} z=1 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.

Xem thêm: bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác