giải tam giác khi biết 2 góc và 1 cạnh

1. Định lí côsin

a) Bài toán: Trong tam giác \(ABC\) cho biết nhị cạnh \(AB,AC\) và góc \(A\). Tính cạnh \(BC\).

Bạn đang xem: giải tam giác khi biết 2 góc và 1 cạnh

Giải:

Ta có \(BC^2=\left|\overrightarrow{BC}\right|^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2\) 

                  \(=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\)

          \(BC^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-2\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos A\)

Vậy tao có \(BC^2=AC^2+AB^2-2AC.AB.\cos A\)

Nên \(BC=\sqrt{AC^2+AB^2-2AC.AB.\cos A}\)

Từ thành quả bên trên tao suy rời khỏi ấn định lí:

b) Định lí côsin

Trong tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) ta có:

           \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)

           \(b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B\)

           \(c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\)

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) có \(b=3cm,c=5cm\) và góc \(\widehat{A}=60^0\) . Tính số đo cạnh \(a\) của tam giác.

Giải:

Áp dụng ấn định lí côsin vô tam giác \(ABC\) ta có:

 \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A=3^2+5^2-2.3.5.\cos60^0=9+25-30.\dfrac{1}{2}=19\)

\(\Rightarrow a=\sqrt{19}\)(cm)

Vậy chừng nhiều năm cạnh \(a\) là \(\sqrt{19}\)cm.

Từ ấn định lí côsin tao suy ra:

Hệ quả: 

          \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ;

          \(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\) ;

          \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có số đo những cạnh \(AB,BC,CA\) lần lượt là \(2cm,4cm,5cm\). Tính số đo góc \(A\).

Giải:

Áp dụng hệ ngược bên trên tao có:

\(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\dfrac{2^2+4^2-5^2}{2.2.4}=-\dfrac{5}{16}\)

Dùng PC tiếp thu tao tính được góc \(A\) là \(\approx108^0\).

@1963500@

c) sít dụng: Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có những cạnh \(BC=a,CA=b,AB=c\). Gọi \(m_a\), \(m_b\) và \(m_c\) là chừng nhiều năm những lối trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh \(A,B,C\) của tam giác.

Ta có:

             \(m_a^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)  ;

             \(m_b^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\)  ;

             \(m_c^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}\).

Thật vậy, gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).

Áp dụng ấn định lí côsin vô tam giác \(AMB\) ta có:

  \(m_a^2=c^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-2c.\dfrac{a}{2}.\cos B=c^2+\dfrac{a^2}{4}-ac\cos B\)

Vì \(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\) nên tao suy ra:

  \(m_a^2=c^2+\dfrac{a^2}{4}-ac.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)

Chứng minh tương tự động tao suy ra \(m_b^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\) và \(m_c^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}\).

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có \(a=7cm,b=8cm,c=6cm\). Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến \(m_a\) của tam giác bại.

Giải:

Áp dụng công thức tính chừng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác tao có:

  \(m_a^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}=\dfrac{2.\left(8^2+6^2\right)-7^2}{4}=\dfrac{151}{4}\)

  \(\Rightarrow\) \(m_a=\sqrt{\dfrac{151}{4}}=\dfrac{\sqrt{151}}{2}\) (cm)

Vậy chừng nhiều năm lối trung tuyến \(m_a\) là \(\dfrac{\sqrt{151}}{2}\)cm.

@1964135@

d) Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) có những cạnh \(AC=10cm\), \(BC=16cm\) và góc \(\widehat{C}=110^0\). Tính chừng nhiều năm cạnh \(AB\) và những góc \(A,B\) của tam giác.

Giải:

Đặt \(BC=a,CA=b,AB=c\).

Theo ấn định lí côsin tao có:

\(c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C=16^2+10^2-2.16.10.\cos110^0\)

\(c^2\approx465,44\)

Vậy \(c\approx\sqrt{465,44}\approx21,6\left(cm\right)\)

Theo hệ ngược của ấn định lí côsin tao có:

\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx\dfrac{10^2+\left(21,6\right)^2-16^2}{2.10.\left(21,6\right)}\approx0,7188\)

Suy ra \(\widehat{A}\approx44^02'\), \(\widehat{B}=180^0-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)\approx25^058'\)

​2. Định lí sin

a) Định lí sin

Trong tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) và \(R\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, ta có:

              \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)

Ví dụ: Cho một tam giác đều cạnh \(a\). Tính nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác đều bại.

Giải:

Gọi chào bán kính ường tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác đều bại là \(R\)

Áp dụng ấn định lí sin: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)

Ta có: \(\dfrac{a}{\sin60^0}=2R\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{a}{2\sin60^0}=\dfrac{a}{2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\)

b) Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B}=20^0\), \(\widehat{C}=31^0\) và cạnh \(b=210cm\). Tính \(\widehat{A}\), những cạnh sót lại và chào bán kính \(R\) của lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác bại.

Giải:

Ta có: \(\widehat{A}=180^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180^0-\left(20^0+31^0\right)=129^0\)

Theo ấn định lí sin tao có: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)

Xem thêm: điểm chuẩn đại học bách khoa hà nội

Suy ra \(a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}=\dfrac{210.\sin129^0}{\sin20^0}\approx477,2\) (cm)

           \(c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}=\dfrac{210.\sin31^0}{\sin20^0}\approx316,2\) (cm)

           \(R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{477,2}{2.\sin129^0}\approx307,02\) (cm)

@1965217@

3. Công thức tính diện tích S tam giác

Ta kí hiệu \(h_a,h_b,h_c\) là những lối cao của tam giác \(ABC\) lần lượt kẻ kể từ những đỉnh \(A,B,C\) và \(S\) là diện tích S của tam giác bại.

Ta vẫn biết \(S=\dfrac{1}{2}a.h_a\) với \(h_a=AH=AC.\sin C=b\sin C\) (kể cả \(\widehat{C}\) nhọn, tù hoặc vuông)

Do đó \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C\)

Tương tự động tao cũng tính được \(S=\dfrac{1}{2}ac\sin B\) hay \(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A\)

Từ bại tao với công thức \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}bc\sin A\).

Cho tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) .

Gọi \(R,r\) lần lượt là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp và lối tròn trĩnh nội tiếp tam giác và \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác.

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được tính theo dõi một trong những công thức:

           \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}bc\sin A\)                    (1)

           \(S=\dfrac{abc}{4R}\)                                                                     (2)

           \(S=pr\)                                                                        (3)

           \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (công thức Hê-rông) (4)

Ví dụ 1: Tam giác \(ABC\) có những cạnh \(a=13m\), \(b=14m\) và \(c=15m\).

    a) Tính diện tích S tam giác \(ABC\)  ;

    b) Tính nửa đường kính lối tròn trĩnh nội tiếp và nước ngoài tiếp tam giác \(ABC\).

Giải:

a) Ta có \(p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{13+14+15}{2}=21\)

Áp dụng công thức Hê-rông tao có:

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{21.\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=84\) (m²)

b) sít dụng công thức \(S=pr\) ta suy ra \(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{84}{21}=4\) (m)

Vậy nửa đường kính lối tròn trĩnh nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(4m\).

Từ công thức \(S=\dfrac{abc}{4R}\) ta suy ra \(R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{13.14.15}{4.84}=8,125\) (m)

Vậy nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác \(ABC\) là \(8,125m\).

Ví dụ 2: Tam giác \(ABC\) có cạnh \(a=2\sqrt{3}\), cạnh \(b=2\) và góc \(\widehat{C}=30^0\). Tính cạnh \(c\), góc \(\widehat{A}\) và diện tích S tam giác bại.

Giải:

Theo ấn định lí côsin tao có: 

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=\left(2\sqrt{3}\right)^2+2^2-2.2\sqrt{3}.2.\cos30^0=4\)

\(\Rightarrow c=\sqrt{4}=2\)

Vậy cạnh \(c=2\)

Ta thấy tam giác \(ABC\) có \(b=c=2\) hay \(AC=AB=2\) suy rời khỏi tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=30^0\)

Do đó \(\widehat{A}=180^0-30^0-30^0=120^0\)

Vậy góc \(\widehat{A}=120^0\)

Ta có \(S=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{3}.2.\sin30^0=\sqrt{3}\)

Vậy diện tích S tam giác \(ABC\) là \(\sqrt{3}\) (đơn vị diện tích)

@1965057@

4. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

a) Giải tam giác

Giải tam giác là dò la một trong những nhân tố của tam giác Lúc cho thấy những nhân tố không giống.

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a=17,4m\) , \(\widehat{B}=44^030'\) và \(\widehat{C}=64^0\). Tính góc \(\widehat{A}\) và những cạnh \(b,c\).

Giải:

Ta có: \(\widehat{A}=180^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180^0-\left(44^030'+64^0\right)=71^030'\)

Theo ấn định lí sin tao có \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)

do đó \(b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{17,4.\sin44^030'}{\sin71^030'}\approx12,9\left(m\right)\)

          \(c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{17,4.\sin64^0}{\sin71^030'}\approx16,5\left(m\right)\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(a=49,4cm\), \(b=26,4cm\) và \(\widehat{C}=47^020'\). Tính cạnh \(c\), góc \(\widehat{A}\) và góc \(\widehat{B}\).

Giải:

Theo ấn định lí côsin tao có \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

Nên \(c^2=\left(49,4\right)^2+\left(26,4\right)^2-2.49,4.26,4.\cos47^020'\approx1369,66\)

Suy ra \(c\approx\sqrt{1369,66}\approx37\left(cm\right)\)

Ta có \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx\dfrac{\left(26,4\right)^2+37^2-\left(49,4\right)^2}{2.26,4.37}\approx-0,191\)

Như vậy góc \(\widehat{A}\) tù và tao có \(\widehat{A}\approx101^0\).

Do đó \(\widehat{B}=180^0-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)\approx31^040'\)

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(a=24cm\), \(b=13cm\) và \(c=15cm\). Tính diện tích \(S\) của tam giác và chào bán kính \(r\) của lối tròn trĩnh nội tiếp tam giác.

Giải:

Theo ấn định lí côsin tao có \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx\dfrac{13^2+15^2-24^2}{2.13.15}\approx-0,4667\)

Như vậy góc \(\widehat{A}\) tù và tao tính được \(\widehat{A}\approx117^049'\) \(\Rightarrow\sin A\approx0,88\)

Ta có \(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A\approx\dfrac{1}{2}13.15.0,88=85,8\left(cm^2\right)\)

Áp dụng công thức \(S=pr\) ta có \(r=\dfrac{S}{p}\).

Vì \(p=\dfrac{24+13+15}{2}=26\left(cm\right)\) nên \(r\approx\dfrac{85,8}{26}=3,3\left(cm\right)\)

b) Ứng dụng vô việc đo đạc

Bài toán 1: Đo độ cao của một chiếc tháp nhưng mà ko thể cho tới được chân tháp.

Giả sử \(CD=h\) là độ cao của tháp vô đó \(C\) là chân tháp. Chọn nhị điểm \(A,B\) trên mặt mũi khu đất sao mang đến tía điểm \(A,B,C\) thẳng sản phẩm. Ta đo khoảng tầm cách \(AB\) và những góc \(\widehat{CAD},\widehat{CBD}\). Chẳng hạn đo được \(AB=24m,\widehat{CAD}=\alpha=63^0,\widehat{CBD}=\beta=48^0\). 

Khi bại chiều cao \(h\) của tháp được xem như sau:

Áp dụng ấn định lí sin vô tam giác \(ABD\) có: \(\dfrac{AD}{\sin\beta}=\dfrac{AB}{\sin D}\)

Ta có \(\alpha=\widehat{D}+\beta\) nên \(\widehat{D}=63^0-48^0=15^0\)

Do đó \(AD=\dfrac{AB.\sin\beta}{\sin D}=\dfrac{24.\sin48^0}{\sin15^0}\approx68,91\)

Trong tam giác vuông \(ACD\) có \(h=CD=AD\sin\alpha\approx61,4\left(m\right)\)

Bài toán 2: Tính khoảng cách từ 1 vị trí trẻn bờ sông cho tới một gốc cây bên trên một cù lao ở thân thiết sông.

Để đo khoảng cách từ 1 điểm \(A\) trên bờ sông cho tới gốc cây \(C\) trên cù lao thân thiết sông, người tao chọn 1 điểm \(B\) cùng phía trên bờ với \(A\) sao mang đến từ \(A\) và \(B\) có thể trông thấy điểm \(C\). Ta đo khoảng tầm cách \(AB\), góc \(\widehat{CAB},\widehat{CBA}\). Chẳng hạn đo được \(AB=40m\), \(\widehat{CAB}=\alpha=45^0,\widehat{CBA}=\beta=70^0\).

Khi bại khoảng tầm cách \(AC\) được tính như sau:

Áp dụng ấn định lí sin vô tam giác \(ABC\) ta có: \(\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\)

Vì \(\sin C=\sin\left(\alpha+\beta\right)\) nên \(AC=\dfrac{AB.\sin\beta}{\sin\left(\alpha+\beta\right)}=\dfrac{40.\sin70^0}{\sin115^0}\approx41,47\left(m\right)\)

Vậy \(AC\approx41,47\left(m\right)\).

Xem thêm: đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất