Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn

Bài viết lách chỉ dẫn giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ trọn vẹn, đấy là dạng toán thông thường bắt gặp nhập lịch trình Đại số 10: phương trình và hệ phương trình.

Bạn đang xem: giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Đặt $t = u(x)$, trả về phương trình theo đòi $t.$
Tuy nhiên nhập một số trong những vấn đề, tao nên thêm thắt hạn chế, group, hoặc phân chia nhị vế của phương trình cho 1 biểu thức nào là cơ, Khi cơ mới nhất xuất hiện nay ẩn phụ $t = u(x).$

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + 4x – 7 + \sqrt {{x^2} + 4x – 1} = 0.$

Điều kiện: ${x^2} + 4x – 1 \ge 0.$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 4x – 1} $, điều kiện: $t \ge 0.$
Suy rời khỏi ${t^2} = {x^2} + 4x – 1.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành: ${t^2} + t – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = – 3}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 2.$
Với $t = 2$ $ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 4x – 1} = 2$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 1 = 4$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = – 5}
\end{array}} \right..$
Thử nhập ĐK, tao được nghiệm của phương trình là: $x=1$, $x=-5.$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 4x + 5} + 3 = 4x – {x^2}.$

Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 4x + 5} .$ Do ${x^2} – 4x + 5$ $ = {(x – 2)^2} + 1 \ge 1$, $\forall x \in R$ nên ĐK là: $t \ge 1.$
Suy rời khỏi ${t^2} = {x^2} – 4x + 5.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành: $t – 2 = – {t^2}.$
$ \Leftrightarrow {t^2} + t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {{x^2} – 4x + 5} = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 5 = 1$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
Kết luận: phương trình sở hữu một nghiệm là $x = 2.$

Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} + 2x – 2 + 3\sqrt { – {x^2} – 2x} = 0.$

Điều kiện: $ – {x^2} – 2x \ge 0.$
Đặt $t = \sqrt { – {x^2} – 2x} .$ Do $ – {x^2} – 2x = – {(x + 1)^2} + 1 \le 1$ nên ĐK là: $0 \le t \le 1.$
Suy rời khỏi ${t^2} = – {x^2} – 2x.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành: $ – {t^2} – 2 + 3t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt { – {x^2} – 2x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = – 1.$
Thử nhập ĐK, tao được nghiệm của phương trình là $x = -1.$

Ví dụ 4. Giải phương trình $4\sqrt {{x^2} – 6x + 6} = {x^2} – 6x + 9.$

Điều kiện: ${x^2} – 6x + 6 \ge 0.$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 6x + 6} .$ Điều kiện: $t \ge 0.$ Suy rời khỏi ${t^2} = {x^2} – 6x + 6.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành: $4t = {t^2} + 3$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 4t + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = 1}
\end{array}} \right..$
Từ cơ tao được: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{x^2} – 6x + 6} = 3}\\
{\sqrt {{x^2} – 6x + 6} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x + 6 = 9}\\
{{x^2} – 6x + 6 = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 \pm 2\sqrt 3 }\\
{x = 5}\\
{x = 1}
\end{array}} \right..$
Thử nhập ĐK, tao được nghiệm của phương trình là:
$x = 3 \pm 2\sqrt 3 $, $x = 5$, $x = 1.$

Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 3x + 3} + \sqrt {{x^2} – 3x + 6} = 3.$

Đặt $t = {x^2} – 3x + 3$ $ = {\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ $ \Rightarrow t \ge \frac{3}{4}.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành: $\sqrt t + \sqrt {t + 3} = 3$ $ \Leftrightarrow 2t + 3 + 2\sqrt {t(t + 3)} = 9.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 3t} = 3 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – t \ge 0}\\
{{t^2} + 3t = {{(3 – t)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 3}\\
{9t – 9 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow {x^2} – 3x + 3 = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
Kết luận: phương trình sở hữu nghiệm là $x = 1$, $x = 2.$

Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{2 – x}} = 1 – \sqrt {x – 1} .$

Điều kiện: $x \ge 1.$
Đặt $t = \sqrt[3]{{2 – x}}$ $ \Rightarrow x = 2 – {t^3}.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành:
$t = 1 – \sqrt {1 – {t^3}} $ $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – {t^3}} = 1 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 1}\\
{1 – {t^3} = {{(1 – t)}^2}}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 1}\\
{t\left( {{t^2} + t – 2} \right) = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \le 1\\
\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 1}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 1}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = 1}\\
{x = 10}
\end{array}} \right..$
So sánh với ĐK, tao được nghiệm của phương trình là: $x = 1$, $x = 2$, $x = 10.$

Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} $ $ = 4x – 9$ $ + 2\sqrt {3{x^2} – 5x + 2} .$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 2 \ge 0}\\
{x – 1 \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 1.$
Đặt $t = \sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} $, điều kiện: $t \ge 1.$
Suy rời khỏi ${t^2} = 3x – 2 + x – 1$ $ + 2\sqrt {(3x – 2)(x – 1)} .$
$ \Rightarrow 4x + 2\sqrt {3{x^2} – 5x + 2} = {t^2} + 3.$
Khi cơ phương trình tiếp tục mang đến trở thành:
$t = {t^2} – 6$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 3.$
Với $t = 3$ $ \Rightarrow \sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} = 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} – 5x + 2} = 6 – 2x.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6 – 2x \ge 0}\\
{3{x^2} – 5x + 2 = {{(6 – 2x)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 3}\\
{{x^2} – 19x + 34 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 3}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 17}\\
{x = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
So sánh với ĐK, tao được nghiệm của phương trình là $x = 2.$

Ví dụ 8. Giải phương trình $3\sqrt {2 + x} $ $ – 6\sqrt {2 – x} $ $ + 4\sqrt {4 – {x^2}} $ $ = 10 – 3x.$

Điều kiện: $ – 2 \le x \le 2.$
Đặt: $t = \sqrt {2 + x} – 2\sqrt {2 – x} .$ Điều kiện: $ – 4 \le t \le 2.$
Suy rời khỏi ${t^2} = 2 + x$ $ + 4(2 – x)$ $ – 4\sqrt {4 – {x^2}} $ $ = 10 – 3x$ $ – 4\sqrt {4 – {x^2}} .$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành:
$3t = {t^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 3\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 0$ $ \Rightarrow \sqrt {2 + x} – 2\sqrt {2 – x} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}.$
So sánh với ĐK, tao được nghiệm của phương trình là $x = \frac{6}{5}.$
Tổng quát: Khi bắt gặp phương trình dạng: $\alpha \left[ {P(x) + Q(x)} \right]$ $ + \beta \left[ {\sqrt {P(x)} \pm \sqrt {Q(x)} } \right]$ $ \pm 2\alpha \sqrt {P(x)Q(x)} $ $ + \delta = 0$ với ĐK ${\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0.$ Ta giải như sau:
Đặt $t = \sqrt {P(x)} \pm \sqrt {Q(x)} $ $ \Rightarrow {t^2} = P(x) + Q(x) \pm 2\sqrt {P(x)Q(x)} .$
Khi cơ phương trình tiếp tục mang đến trở thành: $\alpha {t^2} + \beta t + \delta = 0.$

Ví dụ 9. Giải phương trình ${x^2} + 2x$ $ + \sqrt {x + 3} $ $ + 2x\sqrt {x + 3} $ $ = 9.$

Điều kiện: $x + 3 \ge 0.$
Đặt $t = x + \sqrt {x + 3} $ $ \Rightarrow {t^2} = {x^2} + x + 3$ $ + 2x\sqrt {x + 3} .$
Khi cơ phương trình tiếp tục mang đến trở thành: ${t^2} + t – 12 = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = – 4}
\end{array}} \right..$
+ Với $t = 3$ $ \Rightarrow x + \sqrt {x + 3} = 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3 – x.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – x \ge 0}\\
{x + 3 = {x^2} – 6x + 9}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 3}\\
{{x^2} – 7x + 6 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
+ Với $t = – 4$ $ \Rightarrow x + \sqrt {x + 3} = – 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = – (x + 4)$ (vô nghiệm bởi điều kiện).
Kết luận: phương trình sở hữu nghiệm có một không hai $x =1.$

Ví dụ 10. Giải phương trình ${x^2} + 2x\sqrt {x – \frac{1}{x}} = 3x + 1.$

Điều khiếu nại $x – \frac{1}{x} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 1}\\
{ – 1 \le x < 0}
\end{array}} \right..$
Chia cả nhị vế mang đến $x$ tao được phương trình: $x + 2\sqrt {x – \frac{1}{x}} = 3 + \frac{1}{x}.$
Đặt $t = \sqrt {x – \frac{1}{x}} $ $(t \ge 0).$
Phương trình bên trên trở thành: ${t^2} + 2t – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = – 3\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}.} \right.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {x – \frac{1}{x}} = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ hoặc $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}.$
So sánh với ĐK, tao được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
Nhận xét:
+ Trong những vấn đề đặt điều ẩn phụ, tao hoàn toàn có thể đặt điều ĐK hoặc ko cần thiết đặt điều ĐK mang đến ẩn phụ. Nếu tao đặt điều $t = f(x)$, tuy nhiên việc mò mẫm ĐK mang đến $t$ là đơn giản và giản dị thì tất cả chúng ta nên được sắp xếp ĐK mang đến ẩn phụ $t$, Khi cơ tao tiếp tục tiết kiệm ngân sách được thời hạn giải phương trình: $t = f(x)$ nếu như phương trình này vô nghiệm. Còn nếu như việc mò mẫm ĐK mang đến ẩn phụ $t$ là khá phức tạp thì tao hoàn toàn có thể bỏ dở việc đặt điều ĐK mang đến ẩn phụ $t$, vì như thế nếu như tao ko đặt điều ĐK mang đến ẩn phụ $t$, tuy nhiên trong tình huống ẩn phụ $t$ ko thoả mãn ĐK thì phương trình: $t = f(x)$ giải rời khỏi tiếp tục vô nghiệm.
+ Tuy nhiên trong số vấn đề chứa chấp thông số, việc đặt điều ĐK mang đến ẩn phụ là đề xuất. Nếu đặt điều ĐK mang đến ẩn phụ sai thì vấn đề chứa chấp thông số tiếp tục chấm không còn bên trên cơ.

Ví dụ 11. Giải phương trình ${x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} – {x^2}}} = 2x + 1.$

Ta sở hữu $x = 0$ ko là nghiệm của phương trình.
Chia cả nhị vế mang đến $x \ne 0$, tao được phương trình: $\left( {x – \frac{1}{x}} \right) + \sqrt[3]{{x – \frac{1}{x}}} = 2.$
Đặt $t = \sqrt[3]{{x – \frac{1}{x}}}.$ Phương trình bên trên trở thành:
${t^3} + t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{x – \frac{1}{x}}} = 1$ $ \Leftrightarrow x – \frac{1}{x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
So sánh với ĐK, tao được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$

Ví dụ 12. Giải phương trình $\sqrt {{x^3} – 1} = {x^2} + 3x – 1.$

Điều kiện: $x \ge 1.$
Phương trình tiếp tục mang đến tương đương:
$\sqrt {(x – 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ $ = 2(x – 1) + {x^2} + x + 1.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}}} $ $ = 2\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}} + 1$ (với ${x^2} + x + 1 > 0$).
Đặt: $u = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}}} $, $u \ge 0.$
Phương trình bên trên trở thành: $2{u^2} – u + 1 = 0$ (vô nghiệm).
Kết luận: phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 13. Giải phương trình $\sqrt {4{x^2} + x + 6} $ $ = 4x – 2 + 7\sqrt {x + 1} .$

Điều kiện: $x \ge – 1.$
Phương trình tương đương:
$\sqrt {{{(2x – 1)}^2} + 5(x + 1)} $ $ = 2(2x – 1) + 7\sqrt {x + 1} .$
+ Với $x = -1$: ko vừa lòng phương trình.
Với $x > -1$: phương trình tương tự $\sqrt {{{\left( {\frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)}^2} + 5} $ $ = 2\frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7.$
Đặt $t = \frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$, phương trình bên trên trở thành:
$\sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 7$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t \ge – \frac{7}{2}}\\
{3{t^2} + 28t + 44 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow t = – 2.$
Với $t = – 2$ $ \Rightarrow \frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }} = – 2$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 1} = 1 – 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le \frac{1}{2}}\\
{x = \frac{{2 \pm \sqrt 7 }}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{2 – \sqrt 7 }}{2}.$
Kết luận: phương trình tiếp tục mang đến sở hữu một nghiệm là $x = \frac{{2 – \sqrt 7 }}{2}.$

Ví dụ 14. Giải phương trình $10\sqrt {{x^3} + 8} = 3\left( {{x^2} – x + 6} \right).$

Điều kiện: $x \ge – 2.$
+ Với $x = – 2:$ không vừa lòng phương trình.
+ Với $x > – 2:$ phương trình tương đương:
$10\sqrt {(x + 2)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)} $ $ = 3(x + 2) + 3\left( {{x^2} – 2x + 4} \right).$
$ \Leftrightarrow 10\sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} $ $ = 3 + 3\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}.$
Đặt $u = \sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} $, $u \ge 0.$
Phương trình bên trên trở thành: $3{u^2} – 10u + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 3}\\
{u = \frac{1}{3}}
\end{array}} \right..$
+ Với $u = 3$ tao được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} = 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 11x – 14 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {177} }}{2}.$
+ Với $u = \frac{1}{3}$ tao được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} = \frac{1}{3}$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} – 19x + 34 = 0$ (vô nghiệm).
So sánh với ĐK, tao được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{11 \pm \sqrt {177} }}{2}.$

Ví dụ 15. Giải phương trình ${x^2} – 3x + 1$ $ = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} .$

Phương trình tiếp tục mang đến tương đương:
$2\left( {{x^2} – x + 1} \right)$ $ – \left( {{x^2} + x + 1} \right)$ $ + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sqrt {\left( {{x^2} – x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ $ = 0.$
$ \Leftrightarrow 2\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} – 1$ $ + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sqrt {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} = 0.$
Đặt $t = \sqrt {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} $, $t \ge 0.$ Phương trình bên trên trở thành:
$2{t^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – \frac{3}{{2\sqrt 3 }}\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}
\end{array}} \right..$
Với $t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Kết luận: phương trình sở hữu một nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 16. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} + x – 6} $ $ + 3\sqrt {x – 1} $ $ – \sqrt {3{x^2} – 6x + 19} $ $ = 0.$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + x – 6 \ge 0}\\
{x – 1 \ge 0}\\
{3{x^2} – 6x + 19 \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 2.$
Phương trình tương đương:
$\sqrt {{x^2} + x – 6} + 3\sqrt {x – 1} $ $ = \sqrt {3{x^2} – 6x + 19} .$
$ \Leftrightarrow {x^2} + x – 6$ $ + 6\sqrt {\left( {{x^2} + x – 6} \right)(x – 1)} $ $ + 9x – 9$ $ = 3{x^2} – 6x + 19.$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt {(x – 2)(x + 3)(x – 1)} $ $ = {x^2} – 8x + 17.$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)(x – 2)} $ $ = \left( {{x^2} + 2x – 3} \right)$ $ – 10(x – 2)$ $(1).$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt {\frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}}} $ $ = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}} – 10$ $(2)$ (do $x = 2$ ko là nghiệm của phương trình $(1)$).
Đặt $t = \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}}} \ge 0.$ Phương trình $(2)$ trở thành:
$3t = {t^2} – 10$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 3t – 10 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = 5}
\end{array}} \right..$
Với $t = 5$ $ \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}}} = 5$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 23x + 47 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{23 \pm \sqrt {341} }}{2}.$
Kết hợp ý ĐK tao thấy phương trình tiếp tục mang đến sở hữu nhị nghiệm $x = \frac{{23 \pm \sqrt {341} }}{2}.$

Ví dụ 17. Giải phương trình $\sqrt {5{x^2} + 14x + 9} $ $ – \sqrt {{x^2} – x – 20} $ $ = 5\sqrt {x + 1} .$

Điều kiện: $x \ge 5.$
Phương trình tương đương:
$\sqrt {5{x^2} + 14x + 9} $ $ = \sqrt {{x^2} – x – 20} $ $ + 5\sqrt {x + 1} .$
$ \Leftrightarrow 5{x^2} + 14x + 9$ $ = {x^2} – x – 20$ $ + 10\sqrt {{x^2} – x – 20} \sqrt {x + 1} $ $ + 25x + 25.$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x + 2$ $ = 5\sqrt {(x + 4)(x – 5)(x + 1)} .$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – 4x – 5} \right)$ $ + 3(x + 4)$ $ = 5\sqrt {{x^2} – 4x – 5} \sqrt {x + 4} .$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} \right) + 3$ $ = 5\sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} .$
Đặt: $u = \sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} $ $(u \ge 0).$
Khi cơ phương trình bên trên trở thành: $2{u^2} – 5u + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{u = \frac{3}{2}}
\end{array}} \right..$
+ Với $u = 1$ tao được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} = 1.$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = x + 4$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {61} }}{2}.$
+ Với $u = \frac{3}{2}$ tao được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} = \frac{3}{2}.$
$ \Leftrightarrow 4{x^2} – 16x – đôi mươi = 9x + 36$ $ \Leftrightarrow 4{x^2} – 25x – 56 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 8}\\
{x = – \frac{7}{4}}
\end{array}} \right..$
Do ĐK $x \ge 5$ nên phương trình chỉ mất nhị nghiệm: $x = 8$, $x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}.$
Tổng quát: Khi bắt gặp phương trình dạng: $\alpha P(x) + \beta Q(x)$ $ + \delta \sqrt {P(x)Q(x)} = 0$ $(1).$
Ta giải như sau:
+ Nếu $Q(x) = 0$ $ \Rightarrow P(x) = 0.$
+ Nếu $Q(x) \ne 0.$ Phương trình bên trên tương đương: $\alpha \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} + \beta + \delta \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} = 0.$
+ Đặt $t = \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} $, $t \ge 0$. Ta được phương trình $\alpha {t^2} + \delta t + \beta = 0.$
Tuy nhiên, đa số những phương trình đều ko mang đến tường minh như phương trình (1), tuy nhiên đòi hỏi người giải nên biến hóa khôn khéo phương trình tiếp tục mang đến để mang được về phương trình (1).

Ví dụ 18. Giải phương trình $\sqrt {2 – {x^2}} + \sqrt {2 – \frac{1}{{{x^2}}}} $ $ = 4 – x – \frac{1}{x}.$

Bình phương nhị vế của phương trình tiếp tục mang đến, tao được:
$4 – \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ $ + 2\sqrt {5 – 2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} $ $ = 16 – 8\left( {x + \frac{1}{x}} \right)$ $ + {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2}.$
Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, $|t| \ge 2$ $ \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2.$
Phương trình bên trên trở thành:
$4 – \left( {{t^2} – 2} \right)$ $ + 2\sqrt {5 – 2\left( {{t^2} – 2} \right)} $ $ = 16 – 8t + {t^2}.$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt {9 – 2{t^2}} = 2{t^2} – 8t + 10$ $ \Leftrightarrow \sqrt {9 – 2{t^2}} = {t^2} – 4t + 5.$
$ \Leftrightarrow {\left( {9 – 2{t^2}} \right)^2} = {\left( {{t^2} – 4t + 5} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {t^4} – 8{t^3} + 28{t^2} – 40t + 16 = 0.$
$ \Leftrightarrow {(t – 2)^4} = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2.$
Khi cơ $x + \frac{1}{x} = 2$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Thử lại tao được nghiệm của phương trình là $x = 1.$

Ví dụ 19. Giải phương trình $\sqrt[4]{{x – \sqrt {{x^2} – 1} }}$ $ + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – 1} } = 2.$

Điều kiện: $x \ge 1.$
Phương trình tiếp tục mang đến tương đương:
$\frac{{\sqrt[4]{{(x + \sqrt {{x^2} – 1} )(x – \sqrt {{x^2} – 1} )}}}}{{\sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}}}$ $ + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – 1} } = 2.$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}}}$ $ + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – 1} } = 2.$
Đặt $u = \sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}$, bởi $x \ge 1$ nên $u \ge 1.$
Phương trình bên trên trở thành: ${u^2} + \frac{1}{u} = 2.$
$ \Leftrightarrow {u^3} – 2u + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (u – 1)\left( {{u^2} + u – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{u = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow u = 1.$
Với $u = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }} = 1$ $ \Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} – 1} = 1.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} (\sqrt {x – 1} + \sqrt {x + 1} ) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Kết luận: nghiệm của phương trình là $x = 1.$

Ví dụ 20. Giải phương trình $729{x^4} + 8\sqrt {1 – {x^2}} = 36.$

Điều kiện: $ – 1 \le x \le 1.$
Đặt $t = \sqrt {1 – {x^2}} $, $0 \le t \le 1.$
Phương trình tiếp tục mang đến trở thành:
$729{\left( {1 – {t^2}} \right)^2} + 8t = 36.$
$ \Leftrightarrow \left[ {{{27}^2}{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2} – 36\left( {1 – {t^2}} \right) + \frac{4}{9}} \right]$ $ – \left( {36{t^2} – 8t + \frac{4}{9}} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow {\left[ {27\left( {1 – {t^2}} \right) – \frac{2}{3}} \right]^2}$ $ – {\left( {6t – \frac{2}{3}} \right)^2} = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {27\left( {1 – {t^2}} \right) – 6t} \right]\left[ {27\left( {1 – {t^2}} \right) + 6t – \frac{4}{3}} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{27\left( {1 – {t^2}} \right) – 6t = 0}\\
{27\left( {1 – {t^2}} \right) + 6t – \frac{4}{3} = 0}
\end{array}} \right..$
Ta có: $27\left( {1 – {t^2}} \right) – 6t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{ – 1 – \sqrt {82} }}{9}\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}.$
Với $t = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}$ $ \Rightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{9}\sqrt { – 2 + 2\sqrt {82} } .$
Ta có: $27\left( {1 – {t^2}} \right) + 6t – \frac{4}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{1 – \sqrt {78} }}{9}\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{{1 + \sqrt {78} }}{9}\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Kết luận: nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{1}{9}\sqrt { – 2 + 2\sqrt {82} } .$

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I. BÀI TẬP
1. Giải phương trình $1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 – x} .$

2. Giải phương trình $\sqrt {1 – x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt {1 – {x^2}} = 4.$

3. Giải phương trình $2x + \sqrt {x + 1} + \sqrt x + 2\sqrt {{x^2} + x} = 1.$

4. Giải phương trình $2x + 1 + \sqrt {x + 3} – \sqrt x $ $ = 2\sqrt {{x^2} + 3x} .$

5. Giải phương trình $2\sqrt {2x – {x^2}} + 4$ $ = 3(\sqrt x + \sqrt {2 – x} ).$

6. Giải phương trình $2x + 6 + 2\sqrt {{x^2} + 3x} $ $ = 4(\sqrt x + \sqrt {x + 3} ).$

7. Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {x^2}} } $ $ = x(1 + 2\sqrt {1 – {x^2}} ).$

8. Giải phương trình $\frac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 – x} }}$ $ = 1 + \sqrt {3 + 2x – {x^2}} .$

9. Giải phương trình ${x^2} + 4x + 1$ $ – 2x\sqrt {3x + 1} $ $ = \sqrt {3x + 1} .$

10. Giải phương trình $2{x^2} + x$ $ – \sqrt {{x^2} + 5} $ $ – 2x\sqrt {{x^2} + 5} $ $ = 7.$

11. Giải phương trình $1 + 4{x^2} + (4x – 3)\sqrt {x – 1} = 5x.$

12. Giải phương trình $10{x^2} + 3x + 1$ $ = (1 + 6x)\sqrt {{x^2} + 3} .$

13. Giải phương trình $4{x^2} – x + 4$ $ = 3x\sqrt {x + \frac{1}{x}} .$

14. Giải phương trình $\frac{{2x}}{{2{x^2} – 5x + 3}} + \frac{{13x}}{{2{x^2} + x + 3}} = 6.$

15. Giải phương trình $x\sqrt[3]{{35 – {x^3}}}(x + \sqrt[3]{{35 – {x^3}}}) = 30.$

16. Giải phương trình $4{x^2} – 3x – 4 = \sqrt[3]{{{x^4} – {x^2}}}.$

17. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + 7x + 1} = 4\sqrt x .$

Xem thêm: chuyên đề phương trình vô tỉ lớp 9

18. Giải phương trình $\sqrt[4]{{{x^2} + x + 1}} + \sqrt[4]{{{x^2} – x + 1}} = 2\sqrt[4]{x}.$

19. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 2x + 5} + \sqrt {x – 1} = 2.$

20. Giải phương trình $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} .$

21. Giải phương trình $2{x^2} + 5x – 1 = 7\sqrt {{x^3} – 1} .$

22. Giải phương trình $2\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .$

23. Giải phương trình $3{x^2} – 2x – 2$ $ = \frac{6}{{\sqrt {30} }}\sqrt {{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2} .$

24. Giải phương trình $7{x^2} – 10x + 14 = 5\sqrt {{x^4} + 4} .$

25. Giải phương trình $ – 3{x^2} + 5x + 10$ $ = 5\sqrt {\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)(x + 3)} .$

26. Giải phương trình $ – 2{x^2} + 15x + 23$ $ = 7\sqrt {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)(x – 2)} .$

27. Giải phương trình $\sqrt {\frac{9}{5}{x^2} – \frac{{12}}{5}x – 5} $ $ – \sqrt {x – 3} $ $ = \sqrt {{x^2} + x – 2} .$

28. Giải phương trình $\sqrt {9{x^2} + 9x + 4} $ $ = 9x + 3 – \sqrt {x + 1} .$

29. Giải phương trình ${x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – 2x + 1$ $ = \left( {{x^3} + x} \right)\sqrt {\frac{{1 – {x^2}}}{x}} .$

30. Giải phương trình $(x – 2)\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 x + 2 = 0.$

31. Giải phương trình $2{x^2} – 11x + 21 – 3\sqrt[3]{{4x – 4}} = 0.$

32. Giải phương trình ${(\sqrt {x – 1} + 1)^3} + 2\sqrt {x – 1} = 2 – x.$

33. Giải phương trình ${\left( {{x^2} + 2} \right)^2}$ $ + 4{(x + 1)^3}$ $ + \sqrt {{x^2} + 2x + 5} $ $ = {(2x – 1)^2} + 2.$

34. Giải phương trình ${x^3} + \sqrt {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^3}} $ $ = x\sqrt {2\left( {1 – {x^2}} \right)} .$

35. Giải phương trình $(13 – 4x)\sqrt {2x – 3} $ $ + (4x – 3)\sqrt {5 – 2x} $ $ = 2 + 8\sqrt {16x – 4{x^2} – 15} .$

36. Giải phương trình $4\sqrt {{x^2} + x + 1} $ $ = 1 + 5x + 4{x^2} – 2{x^3} – {x^4}.$

37. Giải phương trình $\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} $ $ – \sqrt {{x^4} – {x^3} + {x^2}} $ $ = \sqrt {x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)} .$

II. ĐÁP SỐ
1. $x = 0$, $x = 1.$

2. $x = 0.$

3. $x = 0.$

4. $x = 1$, $x = \frac{1}{{16}}.$

5. $x = 1.$

6. $x = 1.$

7. $x = 1$, $x = \frac{1}{2}.$

8. $x = – 1$, $x = 3.$

9. $x = 0$, $x = 1$, $x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}.$

10. $x = – \frac{{11}}{8}.$

11. $x = 1.$

12. $x = 1$, $x = \frac{{ – 3 + \sqrt 7 }}{4}.$