Cách tìm GTLN - GTNN của hàm nhiều biến

Phương pháp lần độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của hàm nhiều trở thành gồm 16 trang bao hàm những kỹ năng và kiến thức về 7 cách thức lần giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến tất nhiên ví dụ minh họa và những dạng bài bác tập dượt với đáp án tất nhiên.

Bạn đang xem: giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Cách lần GTLN - GTNN của hàm nhiều trở thành được trình diễn đặc biệt khoa học tập, logic hùn người học tập dễ dàng tưởng tượng và làm rõ kỹ năng và kiến thức. Thông qua chuyện tư liệu này chúng ta lớp 12 nhanh gọn lẹ nắm rõ kỹ năng và kiến thức nhằm lần GTLN - GTNN của hàm nhiều trở thành. Ngoài ra chúng ta coi tăng cỗ đề ôn đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán, phân dạng thắc mắc và bài bác tập dượt vô đề đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán.

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất hoặc lớn số 1 của hàm số f(x)

Bước 1: Dự đoán và chứng tỏ $f(x) \geq c ; f(x) \leq c$

Bước 2: Chỉ rời khỏi 1 ĐK đầy đủ nhằm f(x)=c

2. Các cách thức hay được dùng

Phương pháp 1: Biến thay đổi trở nên tổng những bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc nhị.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng thay đổi trở thành lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng cách thức vectơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng cách thức hình học tập và hệ tọa chừng.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của $P(x, y)=x^{2}+11 y^{2}-6 x y+8 x-28 y+21$

Giải.

Biến thay đổi biểu thức bên dưới dạng $P(x, y)=(x-3 y+4)^{2}+2(y-1)^{2}+3 \geq 3$

Từ cơ suy rời khỏi $\operatorname{Min} P(x, y)=3 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y-1=0 \\ x-3 y+4=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=1 \\ x=-1\end{array}\right.\right.$

Bài 2. Cho x, y>0. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của: $S=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Bài 3. Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của hàm số $S=\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\sin ^{2}(x+y)$

Giải

$S=\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\sin ^{2}(x+y)=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1-\cos 2 y}{2}+1-\cos ^{2}(x+y)$

$S=2-\cos (x+y) \cos (x-y)-\cos ^{2}(x+y)$

$=\frac{9}{4}-\left[\frac{1}{4}+\cos (x+y) \cos (x-y)+\cos ^{2}(x+y)\right]$

$S=\frac{9}{4}-\left[\frac{1}{2} \cos (x-y)+\cos (x+y)\right]^{2}-\frac{1}{4} \sin ^{2}(x-y) \leq \frac{9}{4} .$

Với $x=y=\frac{\pi}{3}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$ thì Max $S=\frac{9}{4}$

Bài 4. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức

$S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{8}^{2}-\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\ldots+x_{6} x_{7}+x_{7} x_{8}+x_{8}\right)$

GIẢI

$S=\left(x_{1}-\frac{1}{2} x_{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}\left(x_{2}-\frac{2}{3} x_{3}\right)^{2}+\frac{4}{6}\left(x_{3}-\frac{3}{4} x_{4}\right)^{2}+\frac{5}{8}\left(x_{4}-\frac{4}{5} x_{5}\right)^{2}+$

$+\frac{6}{10}\left(x_{5}-\frac{5}{6} x_{6}\right)^{2}+\frac{7}{12}\left(x_{6}-\frac{6}{7} x_{7}\right)^{2}+\frac{8}{14}\left(x_{7}-\frac{7}{8} x_{8}\right)^{2}+\frac{9}{16}\left(x_{8}-\frac{8}{9}\right)^{2}-\frac{4}{9} \geq-\frac{4}{9}$

Với $x_{1}=\frac{1}{2} x_{2} ; x_{2}=\frac{2}{3} x_{3} ; \ldots ; x_{6}=\frac{6}{7} x_{7} ; x_{7}=\frac{7}{8} x_{8} ; x_{8}=\frac{8}{9}$ , thì Min $S=-\frac{4}{9}$

Bài 5. Cho $x, hắn, z \in \mathbb{R}$ . Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức:

$\mathrm{S}=19 x^{2}+54 y^{2}+16 z^{2}-16 x z-24 y+36 x y$

Giải.

Biến thay đổi $\mathrm{S} \Leftrightarrow f(x)=19 x^{2}-2(8 z-18 y) x+54 y^{2}+16 z^{2}-24 y$

Xem thêm: bài tập tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ta với $\Delta_{x}^{\prime}=g(y)=(8 z-18 y)^{2}-\left(54 y^{2}+16 z^{2}-24 y\right)=-702 y^{2}+168 z y-240 z^{2}$

$\Rightarrow \Delta_{y}^{\prime}=(84 z)^{2}-702.240 z^{2}=-161424 z^{2} \leq 0 \quad \forall z \in \mathrm{R} \Rightarrow g(y) \leq 0 \forall hắn, z \in \mathrm{R}$

Suy rời khỏi $\Delta_{x}^{\prime} \leq 0 \quad \forall hắn, z \in \mathrm{R} \Rightarrow f(x) \geq 0$ . Với $x=y=z=0 thì \operatorname{Min} S=0$

Bài 6. Cho $x^{2}+x y+y^{2}=3$ . Tìm độ quý hiếm lớn số 1 và nhỏ nhất của biểu thức:

$\mathrm{S}=x^{2}-x y+y^{2}$

Giải

Xét y=0 $\Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow \mathrm{S}=3$ là 1 độ quý hiếm của hàm số.

Xét $y \neq 0$ , Khi cơ chuyển đổi biểu thức bên dưới dạng sau đây

$u=\frac{S}{3}=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}=\frac{(x / y)^{2}-(x / y)+1}{(x / y)^{2}+(x / y)+1}=\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}=u với t=\frac{x}{y}$

$\Leftrightarrow u\left(t^2+t+1\right)=t^2-t+1\Leftrightarrow(u-1)t^2+(u+1)t+(u-1)=0$

+ Nếu $u=1, thì t=0 \Rightarrow x=0, y= \pm \sqrt{3} \Rightarrow u=1$ là 1 độ quý hiếm của hàm số

+ Nếu $u \neq 1$ , thì u nằm trong tập dượt độ quý hiếm hàm số $\Leftrightarrow$ phương trình (*) với nghiệm t

$\Leftrightarrow \Delta=(3 u-1)(3-u) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq u \neq \mathbb{1} \leq 3.$

Vậy tập dượt độ quý hiếm của u là $\left[\frac{1}{3}, 3\right] \Rightarrow \operatorname{Min} u=\frac{1}{3} ; \operatorname{Max} u=3$

$\operatorname{Min} \mathrm{S}=1 \Leftrightarrow \operatorname{Min} u=\frac{1}{3} \Leftrightarrow t=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=y \\ x^2+x y+y^2=3\end{array} \Leftrightarrow x=y= \pm 1\right.$

Max $S =9 \Leftrightarrow \operatorname{Max} u=3 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-y \\ x^2+x y+y^2=3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{3}, y=-\sqrt{3} \\ x=-\sqrt{3}, y=\sqrt{3}\end{array}\right.\right.$

Bài 7. Cho $x, hắn \in \mathbb{R}$ vừa lòng ĐK $\left(x^2-y^2+1\right)^2+4 x^2 y^2-\left(x^2+y^2\right)=0$ . Tìm độ quý hiếm lớn số 1, nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{S}=x^2+y^2$

Giải Biến thay đổi $\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x^2-y^2\right)+1+4 x^2 y^2-\left(x^2+y^2\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-3\left(x^2+y^2\right)+1+4 x^2=0$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-3\left(x^2+y^2\right)+1=-4 x^2$

Do $-4 x^2 \leq 0 nền \left(x^2+y^2\right)^2-3\left(x^2+y^2\right)+1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2} \leq x^2+y^2 \leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Với $x=0, y= \pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}, thì \operatorname{Min}\left(x^2+y^2\right)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$

Với $x=0, y= \pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ , đua $\operatorname{Max}\left(x^2+y^2\right)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Bài 8. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\sqrt{4 x^2+2 x+1}$

Giải.

Gọi yo là một trong những độ quý hiếm của hàm f(x)

$\Rightarrow$ tồn bên trên $x_0$ sao mang lại $x_0$

$\Leftrightarrow y_0-x_0=\sqrt{4 x_0^2+2 x_0+1} \Rightarrow y_0^2-2 y_0 x_0+x_0^2=4 x_0^2+2 x_0+1$

$\Leftrightarrow g\left(x_0\right)=3 x_0^2+2\left(1+y_0\right) x_0+1-y_0^2=0$ . Ta với g(x)=0 với nghiệm $x_0$

$\Leftrightarrow \Delta^{\prime}=\left(1+y_0\right)^2-3\left(1-y_0^2\right)=2\left(2 y_0^2+y_0-1\right)=2\left(y_0+1\right)\left(2 y_0-1\right) \geq 0$

Do $y_0=x_0+\sqrt{3 x_0^2+\left(x_0+1\right)^2} \geq x_0+\sqrt{3 x_0^2}=x_0+\sqrt{3}\left|x_0\right| \geq 0$ nên

$\Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow 2 y_0-1 \geq 0 \Leftrightarrow y_0 \geq \frac{1}{2}.$ Với $x=-\frac{1}{2}$ thì $Minf f(x)=\frac{1}{2}$

..............

Mời chúng ta vận chuyển File tư liệu về nhằm coi tăng nội dung chi tiết

Xem thêm: tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác