Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Bạn đang xem: công thức hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tao có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì chưng tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ cút nhì chuyến tích của nhì cạnh bại liệt nhân với $cosin$ của góc xen thân thích bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của quyết định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính phỏng nhiều năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ với những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là phỏng nhiều năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thích một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh bại liệt vì chưng 2 lần bán kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đuổi một trong số công thức sau

Xem thêm: bấm trị tuyệt đối trên máy tính casio 570

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp, bk đàng tròn xoe nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác bại liệt.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nguyên tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Lúc vẫn biết một vài nguyên tố của tam giác bại liệt.

Muốn giải tam giác tao cần thiết thăm dò côn trùng tương tác trong những góc, cạnh vẫn mang lại với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức đang được nêu vô quyết định lí cosin, quyết định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các câu hỏi về giải tam giác: Có 3 câu hỏi cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng quyết định lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng quyết định lí cosin nhằm tính cạnh loại thân phụ.

Sau bại liệt sử dụng hệ trái ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết thân phụ cạnh

Đối với câu hỏi này tao dùng hệ trái ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần chú ý là 1 trong tam giác giải được Lúc tao biết 3 nguyên tố của chính nó, vô bại liệt cần với tối thiểu một nguyên tố phỏng nhiều năm (tức là nguyên tố góc ko được vượt lên trước 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những câu hỏi thực tiễn, nhất là những câu hỏi đo lường.