chuyên đề phương pháp chứng minh phản chứng

Bài viết lách phía dẫn phương pháp minh chứng vì thế phản bệnh trải qua công việc giải rõ ràng và những ví dụ minh họa sở hữu lời nói giải cụ thể.

Bạn đang xem: chuyên đề phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp minh chứng vì thế phản chứng: Để minh chứng quyết định lý “$\forall x \in X$, $P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)$” (trong đó $P\left( x \right), Q\left( x \right)$ là những mệnh đề chứa chấp biến) tớ rất có thể dùng cách thức minh chứng vì thế phản bệnh như sau:
Bước 1: Giả sử tồn bên trên ${{x}_{0}}\in X$ sao mang lại $P\left( {{x}_{0}} \right)$ đích và $Q\left( {{x}_{0}} \right)$ sai.
Bước 2: Dùng tư duy và những kỹ năng và kiến thức toán học tập nhằm tiếp cận xích míc.

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với từng số bất ngờ $n$ nhưng mà ${{n}^{3}}$ phân tách không còn mang lại $3$ thì $n$ phân tách không còn mang lại $3$.

Giả sử $n$ ko phân tách không còn mang lại $3$ khi bại liệt $n=3k+1$ hoặc $n=3k+2$, $k\in Z.$
+ Với $n=3k+1$ tớ sở hữu ${{n}^{3}}={{\left( 3k+1 \right)}^{3}}$ $=27{{k}^{3}}+27{{k}^{2}}+9k+1$ ko phân tách không còn mang lại $3$ (mâu thuẫn).
+ Với $n=3k+2$ tớ sở hữu ${{n}^{3}}={{\left( 3k+2 \right)}^{3}}$ $=27{{k}^{3}}+54{{k}^{2}}+36k+4$ ko phân tách không còn mang lại $3$ (mâu thuẫn).
Vậy $n$ phân tách không còn mang lại $3$.

Ví dụ 2: Chứng minh vì thế cách thức phản chứng: Nếu phương trình bậc nhị $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ $\left( a, c \ne 0 \right)$ vô nghiệm thì những thông số $a$ và $c$ nằm trong lốt.

Giả sử phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ $\left( a, c \ne 0 \right)$ vô nghiệm và những thông số $a$, $c$ ngược lốt.
Với ĐK $a$, $c$ ngược lốt, tớ sở hữu $a.c<0$, suy đi ra $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ $={{b}^{2}}+4(-ac)>0$, vì thế phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ $\left( a, c \ne 0 \right)$ sở hữu nhị nghiệm phân biệt, điều này xích míc với fake thiết phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ $\left( a, c \ne 0 \right)$ thì $a$, $c$ cần nằm trong lốt.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Dễ dàng minh chứng được nếu ${n^2}$ là số chẵn thì $n$ là số chẵn.
Giả sử $\sqrt 2 $ là số hữu tỉ, tức là $\sqrt 2 = \frac{m}{n}$, trong bại liệt $m, n ∈ N^*$, $\left( {m,n} \right) = 1.$
Từ $\sqrt 2 = \frac{m}{n}$ $ \Rightarrow {m^2} = 2{n^2}$ $ \Rightarrow {m^2}$ là số chẵn.
Suy đi ra $m$ là số chẵn $⇒$ $m = 2k$, $k \in {N^*}.$
Từ ${m^2} = 2{n^2}$ $ \Rightarrow 4{k^2} = 2{n^2}$ $ \Rightarrow {n^2} = 2{k^2}$ $ \Rightarrow {n^2}$ là số chẵn $⇒$ $n$ là số chẵn.
Do bại liệt $m$ chẵn, $n$ chẵn, xích míc với $\left( m,n \right) = 1.$
Vậy $\sqrt 2 $ là số vô tỉ.

Ví dụ 4: Cho $a, b, c$ là những số dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng nếu $a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ thì sở hữu một và chỉ 1 trong các tía số $a, b, c$ lớn rộng lớn $1$.

Xem thêm: cách bấm máy tính sin cos tan lớp 9

Ta sở hữu những tình huống sau:
+ Trường hợp ý 1: Giả sử ba số $a, b, c$ đều to hơn $1$ hoặc tía số $a, b, c$ đều nhỏ rộng lớn $1$ thì xích míc với fake thiết $abc = 1.$
+ Trường hợp ý 2: Giả sử hai vô tía số $a, b, c$ to hơn $1.$
Không mất mặt tính tổng quát mắng fake sử $a > 1, b > 1.$
Vì $abc = 1$ nên $c < 1$, do đó: $\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right)\left( {c – 1} \right) < 0$ $ \Leftrightarrow abc + a + b + c$ $ – ab – bc – ca – 1 < 0$ $ \Leftrightarrow a + b + c < ab + bc + ca$ $ \Leftrightarrow a + b + c < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ (mâu thuẫn).
Vậy chỉ tồn tại một và chỉ 1 trong các tía số $a, b, c$ lớn rộng lớn $1$.

Ví dụ 5: Cho những số $a, b, c$ thỏa những điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c > 0\\
ab + bc + ca > 0\\
abc > 0
\end{array} \right. .$ Chứng minh rằng cả tía số $a, b, c$ đều dương.

Giả sử tía số $a, b, c$ không mặt khác là số dương, vậy sở hữu tối thiểu một trong những ko dương.
Do $a, b, c$ có tầm quan trọng đồng đẳng nên tớ rất có thể fake sử: $a \le 0.$
+ Nếu $a = 0$ thì xích míc với $abc > 0.$
+ Nếu $a < 0$ thì từ $abc > 0$ $ \Rightarrow bc < 0.$
Ta sở hữu $ab + bc + ca > 0$ $ \Leftrightarrow a(b + c) > – bc$ $ \Rightarrow a(b + c) > 0$ $ \Rightarrow b + c < 0$ $ \Rightarrow a + b + c < 0$ (mâu thuẫn).
Vậy cả tía số $a, b, c$ đều dương.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng một tam giác sở hữu đàng trung tuyến một vừa hai phải là phân giác bắt đầu từ một đỉnh là tam giác cân nặng bên trên đỉnh bại liệt.

Giả sử tam giác $ABC$ sở hữu $AH$ một vừa hai phải là đàng trung tuyến một vừa hai phải là đàng phân giác và ko cân nặng bên trên $A.$
Vì $AC≠AB$, ko mất mặt tính tổng quát mắng, tớ fake sử như $AC>AB$ .
Trên $AC$ lấy $D$ sao mang lại $AB=AD$ .
Gọi $L$ là phó điểm của $BD$ và $AH$.
Khi bại liệt $AB=AD$, $\widehat{BAL}=\widehat{LAD}$ và $AL$ cộng đồng nên $\Delta ABL=\Delta ADL .$
Do bại liệt $BL=LD$ hoặc $L$ là trung điểm của $BD.$
Suy đi ra $LH$ là đàng khoảng của tam giác $CBD$
$\Rightarrow LH//DC$ điều này xích míc vì thế $LH,DC$ tách nhau bên trên $A.$
Vậy tam giác $ABC$ cân nặng bên trên $A.$

Xem thêm: công thức tính lực tác dụng lên vật