Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong mỗi nhánh cần thiết của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bất đẳng thức này này thông thường được dùng nhiều trong số Việc minh chứng bất đẳng thức nâng lên. Các em hãy ùng Marathon Education lần hiểu về công thức tính, cơ hội minh chứng và bài xích tập dượt bất đẳng thức Bunhiacopxki qua chuyện nội dung bài viết tiếp sau đây.
Bạn đang xem: bất đẳng thức bu nhi a cốp xki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?
Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên gọi lúc đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz tiếp sau đó rút gọn gàng lại gọi theo đòi thương hiệu của phòng toán học tập người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này tự 3 mái ấm toán học tập nghiên cứu và phân tích và cải tiến và phát triển. Trong nghành toán học tập, bất đẳng thức này được phần mềm không hề ít nhằm giải những Việc minh chứng bất đẳng thức và lần rất rất trị.
Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
\begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\ &\text{Dấu "=” xẩy ra Khi }ac = bd \end{aligned}
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng tổng quát:
Với nhì cỗ số (a1, a2,…,an) và (b1, b2,…,bn), tao có:
\begin{aligned} &(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\\ &\text{Dấu “=” xẩy ra Khi } \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} =... = \frac{a_n}{b_n}\\ \end{aligned}
Nếu một vài nào là cơ (i = 1, 2, 3,…, n) vày 0 thì đẳng thức ứng vày 0.
Ngoài ra:
Hệ trái ngược của bất đẳng thức Bunhiacopxki
Hệ trái ngược 1
\small\text{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C \text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=\frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} \text{đạt được Khi }\frac{x_1}{a_1} =... = \frac{x_n}{a_n}
Hệ trái ngược 2
\begin{aligned} &\small \text{Nếu } x_1^2 +...+ x_n^2 = C^2 \text{ (không đổi) thì:}\\ &\small \bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ đạt được Khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\geq0.\\ &\small \bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ và vết "=" xẩy ra Khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\leq0.\\ \end{aligned}
Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki
Các em rất có thể minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:
Ta có:
\begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\ &\Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\\ &\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\\ &\Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\\ &\Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0\text{ (luôn đúng)} \end{aligned}
Bài tập dượt bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9
Bài tập dượt 1: Cho những số a, b, c là những số thực dương ngẫu nhiên. Chứng minh rằng:
Xem thêm: đề thi vào lớp 10 môn văn 2015
\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq6
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho tới phân thức, tao có:
\begin{aligned} &\footnotesize \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow 1.\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq\sqrt{(1+1+1)\left(\frac{a + b}{a + b + c}+\frac{b + c}{a + b + c}+\frac{c + a}{a + b + c}\right)}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.\left[\frac{2(a + b+c)}{a + b + c}\right]}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.2}=\sqrt6 \text{ (điều cần hội chứng minh)}\\ &\footnotesize\text{Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi những độ quý hiếm a = b = c} \end{aligned}\\
Bài tập dượt 2: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 (max) của biểu thức sau:
Hướng dẫn:
\begin{aligned} &\footnotesize P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\\ &\footnotesize \text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\\ &\footnotesize \text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, tao có:}\\ &\footnotesize (1.\sqrt{x -2} + 1.\sqrt{4 -x})^2 ≤ (1^2 + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\\ &\footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\\ &\footnotesize ⟺ -2 ≤ P.. ≤ 2\\ &\footnotesize \text{P đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất lúc }P = 2 ⟺ \frac{1}{\sqrt{x -2}} = \frac{1}{\sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\\ &\footnotesize \text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3 \end{aligned}
Bài tập dượt 3: Cho những số a, b, c là những số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki.
Ta được:
\begin{aligned} &\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\\ &\text{Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi những số a = b = c} \end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Bất đẳng thức Bunhiacopxki thông thường được vận dụng nhiều trong số bài xích tập dượt minh chứng bất đẳng thức và lần rất rất trị. Do cơ, những em rất cần phải nắm rõ định nghĩa, công thức tính, cơ hội minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki và thực hiện nhiều dạng khác nhau bài xích tập dượt không giống nhau nhằm nâng lên tài năng giải toán của phiên bản thân thuộc.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học trực tuyến online nâng lên kỹ năng và kiến thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ thi đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: sách sinh 10 kết nối tri thức pdf
Bình luận