bài tập về khai triển taylor có đáp an

Bài viết lách này Vted reviews cho tới độc giả lý thuyết và ví dụ minh hoạ sở hữu điều giải cụ thể về Khai triển Taylor dùng làm xấp xỉ hàm số bởi vì một nhiều thức:

>>Xem thêm Các cách thức tính tấp tểnh thức của yêu tinh trận

>> Độc lập tuyến tính và dựa vào tuyến tính

>>Định thức của yêu tinh trận và những đặc điểm của tấp tểnh thức

>> Chứng minh một yêu tinh trận suy biến hóa và yêu tinh trận khả nghịch

>>Cơ sở của không khí véctơ

>> Đạo hàm cung cấp 1 và đạo hàm cung cấp 2 của hàm số mang đến bởi vì tham lam số

>>Tính đạo hàm và vi phân cung cấp cao của hàm số

>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế

>>Phương trình vi phân toàn phần và cách thức quá số tích phân

>> Các dạng toán về hạng của yêu tinh trận và cách thức giải

1. Khai triển Taylor so với nhiều thức

Xét nhiều thức $P(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}},$ Lúc tê liệt với điểm ${{x}_{0}}$ bất kì tớ có

Bạn đang xem: bài tập về khai triển taylor có đáp an

$P(x)=P({{x}_{0}})+\dfrac{{P}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\dfrac{{P}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+...+\dfrac{{{P}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}.$

Ví dụ 1: Khai triển $P(x)={{x}^{3}}+x-1$ bám theo luỹ quá nguyên vẹn dương của $x-1.$

Giải. Có ${P}'(x)=3{{x}^{2}}+1,{P}''(x)=6x,{P}'''(x)=6.$ Vậy  

$\begin{array}{c} P(x) = P(1) + \dfrac{{P'(1)}}{{1!}}(x - 1) + \dfrac{{P''(1)}}{{2!}}{(x - 1)^2} + \dfrac{{P'''(1)}}{{3!}}{(x - 1)^3}\\ = 1 + \dfrac{4}{{1!}}(x - 1) + \dfrac{6}{{2!}}{(x - 1)^2} + \dfrac{6}{{3!}}{(x - 1)^3}\\ = 1 + 4(x - 1) + 3{(x - 1)^2} + {(x - 1)^3}. \end{array}$

Ví dụ 2: Khai triển nhiều thức $P(x)={{x}^{5}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ bám theo luỹ quá nguyên vẹn dương của $x-1.$

Giải. Có $\left\{ \begin{array}{l} P(x) = {x^5} + {x^3} - 3{x^2} + 1\\ P'(x) = 5{x^4} + 3{x^2} - 6x\\ P''(x) = 20{x^3} + 6x - 6\\ P'''(x) = 60{x^2} + 6\\ {P^{(4)}}(x) = 120x\\ {P^{(5)}}(x) = 120 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} P(1) = 0\\ P'(1) = 2\\ P''(1) = 20\\ P'''(1) = 66\\ {P^{(4)}}(1) = 120\\ {P^{(5)}}(1) = 120 \end{array} \right..$ Vậy

$\begin{array}{c} P(x) = \dfrac{2}{{1!}}(x - 1) + \dfrac{{20}}{{2!}}{(x - 1)^2} + \dfrac{{66}}{{3!}}{(x - 1)^3} + \dfrac{{120}}{{4!}}{(x - 1)^4} + \dfrac{{120}}{{5!}}{(x - 1)^5}\\ = 2(x - 1) + 10{(x - 1)^2} + 11{(x - 1)^3} + 5{(x - 1)^4} + {(x - 1)^5}. \end{array}$

2. Khai triển Taylor so với hàm số bất kì

Khai triển Taylor với phần dư dạng Peano

Giả sử hàm số $f(x)$ sở hữu đạo hàm cho tới cung cấp $n$ nhập phụ cận $({{x}_{0}}-\delta ;{{x}_{0}}+\delta )$ của điểm ${{x}_{0}}.$ Khi đó:

$f(x)=f({{x}_{0}})+\dfrac{{f}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\dfrac{{f}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+...+\dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+o\left[ {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right].$

công thức bên trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ cho tới bậc $n$ bên trên điểm ${{x}_{0}}$ với phần dư dạng Peano.

$r(x)=o\left[ {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right]$ được gọi là phần dư và được gọi là phần dư dạng peano.

Khai triển Mac – Laurin

Trong công thức khai triển Taylor với phần dư dạng peano Lúc ${{x}_{0}}=0,$ tớ có

$f(x)=f(0)+\dfrac{{f}'(0)}{1!}x+\dfrac{{f}''(0)}{2!}{{x}^{2}}+...+\dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}}).$

công thức này được gọi là công thức khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange

Giả sử hàm số $f(x)$ sở hữu đạo hàm cho tới cung cấp $n+1$ nhập phụ cận $({{x}_{0}}-\delta ;{{x}_{0}}+\delta )$ của điểm ${{x}_{0}}.$ Khi đó:

$f(x)=f({{x}_{0}})+\dfrac{{f}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\dfrac{{f}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+...+\dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+\dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}},$ nhập tê liệt $c$ là vấn đề nào là tê liệt nằm trong lòng $x$ và ${{x}_{0}}.$

công thức bên trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ cho tới bậc $n$ bên trên điểm ${{x}_{0}}$ với phần dư dạng lagrange.

$r(x)=\dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}},$ được gọi là phần dư dạng Lagrange.

Xem tăng những bài bác viếtt:

>>Tính đạo hàm và vi phân cung cấp cao của hàm số

>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế

3. Khai triển Mac - Laurin của một số trong những hàm sơ cung cấp hoặc dùng 

(a) $y={{e}^{x}}\Rightarrow {{y}^{(n)}}(x)={{e}^{x}}\Rightarrow {{y}^{(n)}}(0)=1\Rightarrow {{e}^{x}}=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{n}}}{n!}+o({{x}^{n}}).$

(b) $y = \sin x \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right) \Rightarrow {y^{(n)}}(0) = \sin \dfrac{{n\pi }}{2} = \left\{ \begin{array}{l} 0,n = 2k\\ {( - 1)^k},n = 2k + 1 \end{array} \right..$

Vậy $\sin x=x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\dfrac{{{x}^{5}}}{5!}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{(2n+1)!}{{x}^{2n+1}}+o({{x}^{2n+1}}).$

(c) $y = \cos x \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \cos x\left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right) \Rightarrow {y^{(n)}}(0) = \cos \dfrac{{n\pi }}{2} = \left\{ \begin{array}{l} {( - 1)^k},n = 2k\\ 0,n = 2k + 1 \end{array} \right..$

Vậy $\cos x=1-\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{4}}}{4!}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{(2n)!}{{x}^{2n}}+o({{x}^{2n}}).$

(d) $y=\ln (1+x)\Rightarrow {{y}^{(n)}}(x)=\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}(n-1)!}{{{(x+1)}^{n}}}\Rightarrow {{y}^{(n)}}(0)={{(-1)}^{n-1}}(n-1)!.$

Vậy $\ln (1 + x) = x - \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^3}}}{3} - ... + \dfrac{{{{( - 1)}^{n - 1}}{x^n}}}{n} + o({x^n}).$

(e) $y=\dfrac{1}{x+1}\Rightarrow {{y}^{(n)}}(x)=\dfrac{{{(-1)}^{n}}n!}{{{(x+1)}^{n+1}}}\Rightarrow {{y}^{(n)}}(0)={{(-1)}^{n}}n!.$

Vậy $\dfrac{1}{x+1}=1-x+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+...+{{(-1)}^{n}}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}}).$

>>Xem tăng những xem thêm cho tới hệ phương trình tuyến tính

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: Mô hình Input - Output của Leontief

Bài 5: Mô hình thăng bằng thị ngôi trường và thăng bằng kinh tế tài chính vĩ mô

Ví dụ 1: Khai triển Taylor cho tới cung cấp 2 bên trên điểm $x=\dfrac{1}{2}$ với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=\arcsin x.$

Giải. Có $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\arcsin \dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi }{6}$ và ${f}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ và ${f}''(x)=\dfrac{x}{\sqrt{{{(1-{{x}^{2}})}^{3}}}}\Rightarrow {f}''\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{4}{3\sqrt{3}}.$

Vậy $f(x)=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x-1)+\dfrac{2}{3\sqrt{3}}{{(x-1)}^{2}}+o\left[ {{(x-1)}^{2}} \right].$  

Ví dụ 2:  Khai triển Taylor cho tới cung cấp 5 bên trên điểm $x=1$ với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)={{(x-1)}^{3}}\arccos (x-1).$

Giải. Ta khai triển Taylor cho tới cung cấp 2 bên trên điểm $x=1$ với phần dư dạng peano của hàm số $g(x)=\arccos (x-1).$

Có $g(1)=\arccos 0=\dfrac{\pi }{2}$ và ${g}'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}\Rightarrow {g}'(1)=-1$ và ${g}''(x)=\dfrac{1-x}{\sqrt{{{(2x-{{x}^{2}})}^{3}}}}\Rightarrow {g}''(1)=0.$ Suy đi ra $g(x)=\dfrac{\pi }{2}-(x-1)+o\left[ {{(x-1)}^{2}} \right].$

Vậy $f(x)={{(x-1)}^{3}}g(x)=\dfrac{\pi }{2}{{(x-1)}^{3}}-{{(x-1)}^{4}}+o\left[ {{(x-1)}^{5}} \right].$  

Ví dụ 3: Khai triển hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x+7}$ bám theo luỹ quá của $x-1$ cho tới bậc 3 với phần dư dạng peano.

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(1) = 2;\\ f'(x) = \dfrac{1}{3}{(x + 7)^{ - \dfrac{2}{3}}} \Rightarrow f'(1) = \dfrac{1}{{12}};\\ f''(x) = - \dfrac{2}{9}{(x + 7)^{ - \dfrac{5}{3}}} \Rightarrow f''(1) = - \dfrac{1}{{144}};\\ f'''(x) = \dfrac{{10}}{{27}}{(x + 7)^{ - \dfrac{8}{3}}} \Rightarrow f'''(1) = \dfrac{5}{{3456}}. \end{array}$

Vậy $f(x)=2+\dfrac{1}{12}(x-1)-\dfrac{1}{288}{{(x-1)}^{2}}+\dfrac{5}{20736}{{(x-1)}^{3}}+o\left[ {{(x-1)}^{3}} \right].$

Ví dụ 4: Khai triển Mac – Laurin cho tới cung cấp 4 của hàm số $f(x)=\int\limits_{0}^{x}{\ln (1+t)dt}.$

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(0) = 0;\\ f'(x) = \ln (1 + x) \Rightarrow f'(0) = 0;\\ f''(x) = \dfrac{1}{{1 + x}} \Rightarrow f''(0) = 1;\\ f'''(x) = - \dfrac{1}{{{{(1 + x)}^2}}} \Rightarrow f'''(0) = - 1;\\ {f^{(4)}}(x) = \dfrac{2}{{{{(1 + x)}^3}}} \Rightarrow {f^{(4)}}(0) = 2. \end{array}$

Vậy $f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{12}{{x}^{4}}+o({{x}^{4}}).$ 

Ví dụ 5: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)={{x}^{2}}\sin 2x+3.$

Giải. Có $g(x)=\sin 2x=2x-\dfrac{{{(2x)}^{3}}}{3!}+\dfrac{{{(2x)}^{5}}}{5!}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{(2n-1)!}{{(2x)}^{2n-1}}+o({{x}^{2n-1}}).$

Vậy $f(x)={{x}^{2}}g(x)+3=3+2{{x}^{3}}-\dfrac{{{2}^{3}}}{3!}{{x}^{5}}+\dfrac{{{2}^{5}}}{5!}{{x}^{5}}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}{{2}^{2n-1}}}{(2n-1)!}{{x}^{2n+1}}+o({{x}^{2n+1}}).$

Ví dụ 6: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}.$

Giải. Ta có

\[\begin{array}{l} f(0) = \dfrac{1}{3};\\ f'(x) = - \dfrac{2}{{{{(2x + 3)}^2}}} \Rightarrow f'(0) = - \dfrac{2}{9};\\ f''(x) = \dfrac{8}{{{{(2x + 3)}^3}}} \Rightarrow f''(0) = \dfrac{8}{{27}};\\ f'''(x) = - \dfrac{{48}}{{{{(2x + 3)}^4}}} \Rightarrow f'''(0) = - \dfrac{{16}}{{27}};\\ ...\\ {f^{(n)}}(x) = \dfrac{{{{( - 2)}^n}.n!}}{{{{(2x + 3)}^{n + 1}}}} \Rightarrow {f^{(n)}}(x) = \dfrac{{{{( - 2)}^n}.n!}}{{{3^{n + 1}}}}. \end{array}\]

Vậy $f(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{9}x+\dfrac{8}{27}{{x}^{2}}-\dfrac{16}{27}{{x}^{3}}+...+\dfrac{{{(-2)}^{n}}.n!}{{{3}^{n+1}}}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}}).$

Ví dụ 7: Khai triển Taylor bám theo những luỹ quá của $x-1$ cho tới bậc thân phụ của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.$

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow f(1) = 1;\\ f'(x) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \dfrac{3}{2}}} \Rightarrow f'(1) = - \dfrac{1}{2};\\ f''(x) = \dfrac{3}{4}{x^{ - \dfrac{5}{2}}} \Rightarrow f''(1) = \dfrac{3}{4};\\ f'''(x) = - \dfrac{{15}}{8}{x^{ - \dfrac{7}{2}}} \Rightarrow f'''(1) = - \dfrac{{15}}{8}. \end{array}$

Vậy $f(x)=1-\dfrac{1}{2}(x-1)+\dfrac{3}{8}{{(x-1)}^{2}}-\dfrac{5}{16}{{(x-1)}^{3}}+o\left[ {{(x-1)}^{3}} \right].$

Ví dụ 8: Khai triển Taylor bám theo theo luỹ quá của $x-1$ cho tới bậc thân phụ của hàm số $f(x)={{x}^{x}}-1.$

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(x) = {x^x} - 1 \Rightarrow f(1) = 0;\\ f(x) = {e^{x\ln x}} - 1 \Rightarrow f'(x) = \left( {\ln x + 1} \right){e^{x\ln x}} \Rightarrow f'(1) = 1;\\ f''(x) = \dfrac{1}{x}{e^{x\ln x}} + {\left( {\ln x + 1} \right)^2}{e^{x\ln x}} \Rightarrow f''(1) = 2;\\ f'''(x) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}{e^{x\ln x}} + \dfrac{1}{x}\left( {\ln x + 1} \right){e^{x\ln x}} + \dfrac{2}{x}(\ln x + 1){e^{x\ln x}} + {\left( {\ln x + 1} \right)^3}{e^{x\ln x}} \Rightarrow f'''(1) = 3. \end{array}$

Vậy $f(x)=(x-1)+{{(x-1)}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{(x-1)}^{3}}+o\left[ {{(x-1)}^{3}} \right].$

Ví dụ 9: Khai triển Taylor bám theo theo luỹ quá của $x-2$ cho tới bậc thân phụ của hàm số $f(x)=\dfrac{x}{x-1}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{x}{{x - 1}} \Rightarrow f(2) = 2;\\ f(x) = \dfrac{{(x - 1) + 1}}{{x - 1}} = 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} \Rightarrow f'(x) = - \dfrac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow f'(2) = - 1;\\ f''(x) = \dfrac{2}{{{{(x - 1)}^3}}} \Rightarrow f''(2) = 2;\\ f'''(x) = - \dfrac{6}{{{{(x - 1)}^4}}} \Rightarrow f'''(2) = - 6. \end{array}$

Vậy $f(x)=2-(x-1)+{{(x-1)}^{2}}-{{(x-1)}^{3}}+o\left[ {{(x-1)}^{3}} \right].$

Ví dụ 10: Khai triển Taylor bám theo theo luỹ quá của $x-1$ cho tới bậc thân phụ của hàm số $f(x)=\ln (1-x+{{x}^{2}}).$

Giải.

$\begin{array}{l} f(x) = \ln (1 - x + {x^2}) \Rightarrow f(1) = 0;\\ f'(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}} \Rightarrow f'(1) = 1;\\ f''(x) = - \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{{{({x^2} - x + 1)}^2}}} \Rightarrow f''(1) = 1;\\ f'''(x) = \dfrac{{2(2x - 1)({x^2} - x - 2)}}{{{{({x^2} - x + 1)}^3}}} \Rightarrow f'''(1) = - 4. \end{array}$

Vậy $f(x)=(x-1)+\dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{2}-\dfrac{2{{(x-1)}^{3}}}{3}+o\left[ {{(x-1)}^{3}} \right].$

Ví dụ 11: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)={{e}^{-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}.$

Giải. Xét $g(x)={{e}^{x}}$ tớ sở hữu $g(x)={{e}^{x}}\Rightarrow g(0)=1;{{g}^{(n)}}(x)={{e}^{x}}\Rightarrow {{g}^{(n)}}(0)=1.$

Vậy $g(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{n}}}{n!}+o({{x}^{n}}).$

Suy đi ra $f(x)=g\left( -\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)=1-\dfrac{{{x}^{2}}}{1!{{.2}^{1}}}+\dfrac{{{x}^{4}}}{2!{{.2}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{6}}}{3!{{.2}^{3}}}+...+\dfrac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{2n}}}{n!{{.2}^{n}}}+o({{x}^{2n}}).$

Ví dụ 12: Khai triển Mac – Laurin cho tới luỹ quá bậc 3 của $x$ của hàm số $f(x)={{e}^{\sin x}}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} f(x) = {e^{\sin x}} \Rightarrow f(0) = 1;\\ f'(x) = \cos x{e^{\sin x}} \Rightarrow f'(0) = 1;\\ f''(x) = - \sin x{e^{\sin x}} + {\cos ^2}x{e^{\sin x}} \Rightarrow f''(0) = 1;\\ f'''(x) = - \cos x{e^{\sin x}} - \sin x\cos x{e^{\sin x}} - 2\cos x\sin x{e^{\sin x}} + {\cos ^3}x{e^{\sin x}} \Rightarrow f'''(0) = 0. \end{array}$

Vậy $f(x)=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+o({{x}^{3}}).$  

Ví dụ 13: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)={{e}^{\tan x}}$ cho tới bậc 5 của $x.$

Giải. Có $f(x)=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{{{x}^{3}}}{2}+\dfrac{3{{x}^{4}}}{8}+o({{x}^{5}}).$ 

Xem thêm: Soi kèo bóng đá hôm nay nâng cao tỷ lệ thắng cược tại Xoilac TV

Ví dụ 14: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $y=x\sin {{x}^{2}}$ cho tới luỹ quá ${{x}^{11}}.$

Giải. Có $\sin x=x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\dfrac{{{x}^{5}}}{5!}+o({{x}^{5}}).$

Suy đi ra $\sin {{x}^{2}}={{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{6}}}{3!}+\dfrac{{{x}^{10}}}{5!}+o({{x}^{10}}).$

Vì vậy $x\sin {{x}^{2}}={{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{7}}}{3!}+\dfrac{{{x}^{11}}}{5!}+o({{x}^{11}}).$

Ví dụ 15: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}+x-12}.$

Có $\begin{gathered} f(x) = \dfrac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + x - 12}} = 1 + \dfrac{2}{{x - 3}} - \dfrac{3}{{x + 4}} = 1 - \dfrac{2}{3}\dfrac{1}{{1 - \dfrac{x}{3}}} - \dfrac{3}{4}\dfrac{1}{{1 + \dfrac{x}{4}}} \\ = 1 - \dfrac{2}{3}\left( {1 - \left( { - \dfrac{x}{3}} \right) + {{\left( { - \dfrac{x}{3}} \right)}^2} - ... + {{( - 1)}^n}{{\left( { - \dfrac{x}{3}} \right)}^n} + o({x^n})} \right) - \dfrac{3}{4}\left( {1 - \left( {\dfrac{x}{4}} \right) + {{\left( {\dfrac{x}{4}} \right)}^2} - ... + {{( - 1)}^n}{{\left( {\dfrac{x}{4}} \right)}^n} + o({x^n})} \right) \\ = - \dfrac{5}{{12}} - \dfrac{5}{{144}}x - \dfrac{{209}}{{1728}}{x^2} - ... + {( - 1)^n}\left( { - \dfrac{2}{3}{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^n} - \dfrac{3}{4}{{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}^n}} \right){x^n} + o({x^n}). \\ \end{gathered} $

Ví dụ 16: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)={{\cos }^{3}}x.$

Có $\begin{gathered} f(x) = {\cos ^3}x = \dfrac{1}{4}\cos 3x + \dfrac{3}{4}\cos x \\ = \dfrac{1}{4}\left( {1 - \dfrac{{{{\left( {3x} \right)}^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{{\left( {3x} \right)}^4}}}{{4!}} - ... + \dfrac{{{{( - 1)}^n}{{\left( {3x} \right)}^{2n}}}}{{(2n)!}} + o({x^{2n}})} \right) + \dfrac{3}{4}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{x^4}}}{{4!}} - ... + \dfrac{{{{( - 1)}^n}{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + o({x^{2n}})} \right) \\ = 1 - \dfrac{3}{2}{x^2} + \dfrac{7}{8}{x^4} - ... + {( - 1)^n}\dfrac{{{9^n} + 3}}{{4(2n)!}}{x^{2n}} + o({x^{2n}}). \\ \end{gathered} $

Ví dụ 17: Khai triển Taylor của hàm số $f(x)=\ln \left( \dfrac{{{(x-1)}^{x-2}}}{3-x} \right)$ đếp cung cấp 4 của $x-2$ với phần dư dạng Peano.

Có $\begin{gathered} f(x) = \ln \left( {\dfrac{{{{(x - 1)}^{x - 2}}}}{{3 - x}}} \right) = (x - 2)\ln (x - 1) - \ln (3 - x) \hfill \\ \Rightarrow f'(x) = \ln (x - 1) + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{3 - x}} \Rightarrow f''(x) = \dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x - 3)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f'''(x) = - \dfrac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{2}{{{{(x - 1)}^3}}} - \dfrac{2}{{{{(x - 3)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow {f^{(4)}}(x) = \dfrac{2}{{{{(x - 1)}^3}}} + \dfrac{6}{{{{(x - 1)}^4}}} + \dfrac{6}{{{{(x - 3)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow f(2) = 0;f'(2) = 1;f''(2) = 3;f'''(2) = - 1;{f^{(4)}}(2) = 14 \hfill \\ \Rightarrow f(x) = (x - 2) + \dfrac{3}{2}{(x - 2)^2} - \dfrac{1}{6}{(x - 2)^3} + \dfrac{7}{{12}}{(x - 2)^4} + o\left( {{{(x - 3)}^4}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

4. Ứng dụng khai triển Taylor tính số lượng giới hạn của hàm số

Ví dụ 1: Tìm số thực $a$ sao mang đến $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\ln (a{{x}^{2}}+x+1)-x}{{{x}^{2}}}=1.$

Giải.Cách 1: Dùng Lôpitan có

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\ln (a{{x}^{2}}+x+1)-x}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\dfrac{2ax+1}{a{{x}^{2}}+x+1}-1}{2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(2a-1)x-a{{x}^{2}}}{2x(a{{x}^{2}}+x+1)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2a-1-ax}{2(a{{x}^{2}}+x+1)}=\dfrac{2a-1}{2}.$

Vậy $\dfrac{2a-1}{2}=1\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}.$

5. Ứng dụng khai triển Taylor nhập những dạng vấn đề khác

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ xác lập và sở hữu đạo hàm cung cấp 2 liên tiếp bên trên đoạn $[0;1]$ thoả mãn $f(0)=f(1)$ và $\left| {f}''(x) \right|\le A,\forall x\in [0;1].$ Chứng minh rằng $\left| {f}'(x) \right|\le \dfrac{A}{2},\forall x\in [0;1].$

Giải. Khai triển Taylor với phần dư dạng lagrange có:

$\begin{array}{l} f(0) = f(x) + f(x) + f'(x)(0 - x) + \dfrac{{f''(a)}}{2}{(0 - x)^2};\\ f(1) = f(x) + f'(x)(1 - x) + \dfrac{{f''(b)}}{2}{(1 - x)^2}. \end{array}$

Với $a$ là số thực nằm trong lòng $0$ và $x;b$ là số thực nằm trong lòng $1$ và $x.$

Kết phù hợp fake thiết sở hữu \[{f}'(x)=\dfrac{{f}''(a)}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{{f}''(b)}{2}{{(1-x)}^{2}}\] và

                                                            \[\begin{array}{c} \left| {f'(x)} \right| = \left| {\dfrac{{f''(a)}}{2}{x^2} - \dfrac{{f''(b)}}{2}{{(1 - x)}^2}} \right|\\ \le \left| {\dfrac{{f''(a)}}{2}{x^2}} \right| + \left| {\dfrac{{f''(b)}}{2}{{(1 - x)}^2}} \right|\\ \le \dfrac{{A{x^2}}}{2} + \dfrac{{A{{(1 - x)}^2}}}{2} = \dfrac{A}{2}(2{x^2} - 2x + 1) = \dfrac{A}{2}(2x(x - 1) + 1) \le \dfrac{A}{2},\forall x \in [0;1]. \end{array}\]

Ví dụ 2: Cho $f:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R}$là hàm khả vi gấp đôi sánh mang đến với từng $x\in \left[ 0,1 \right]$thì $f''(x)\le 1$. Chứng minh rằng

$f(0)-2f\left( \dfrac{1}{2} \right)+f(1)\le \dfrac{1}{4}$.

Giải. Để ý cho tới đại lượng $f(0),f(1)$ và $2f\left( \dfrac{1}{2} \right)$ điều này thực hiện tớ tâm lý cho tới khai triển Tayor bên trên ${{x}_{0}}=\dfrac{1}{2}$.

Khai triển Taylor tớ được

$f(0)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{2}f'\left( \dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{8}f''({{x}_{1}}),{{x}_{1}}\in \left( 0,\dfrac{1}{2} \right)$ ,

$f(1)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{2}f'\left( \dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{8}f''({{x}_{2}}),{{x}_{2}}\in \left( \dfrac{1}{2},1 \right)$.

cộng bám theo vế nhì đẳng thức bên trên tớ được $f(0)-2f\left( \dfrac{1}{2} \right)+f(1)=\dfrac{1}{8}\left( f''({{x}_{1}})+f''({{x}_{2}}) \right)\le \dfrac{1}{4}$.

Bài toán được minh chứng.

Ví dụ 3: Cho $f:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R}$khả vi cung cấp 2 bên trên $\left[ 0,1 \right]$ thỏa mãn nhu cầu $f(0)=f(1)=a$ và $\underset{x\in \left[ 0,1 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=b$. Chứng minh rằng

\[\underset{x\in \left[ 0,1 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f''(x)\ge 8\left( a-b \right)\].

Giải. Do $f$ liên tiếp bên trên $\left[ 0,1 \right]$ nên tồn bên trên ${{x}_{0}}\in \left[ 0,1 \right]$ sao mang đến $f({{x}_{0}})=\underset{x\in \left[ 0,1 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=b$. Theo tấp tểnh lý Fermat thì $f'({{x}_{0}})=0$.  Khai triển Taylor tớ được

$a=f(0)=f({{x}_{0}})+f'({{x}_{0}})\left( 0-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{f''({{x}_{1}})}{2}x_{0}^{2}\Rightarrow a-b=\dfrac{f''({{x}_{1}})}{2}x_{0}^{2}$ với ${{x}_{1}}\in \left( 0,{{x}_{0}} \right)$

Ví dụ 4: Cho $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$là hàm khả vi với đạo hàm cung cấp 2 dương. Chứng minh rằng

$f\left( x+f'(x) \right)\ge f(x)$ với từng số thực $x$.

Giải. Khai triển Taylor bên trên ${{x}_{0}}=x$ tớ được

$f\left( x+f'(x) \right)=f(x)+f'(x)\left( x+f'(x)-x \right)+\dfrac{f''(\delta x)}{2}{{\left( x+f'(x)-x \right)}^{2}}$.

Suy đi ra $f\left( x+f'(x) \right)-f(x)={{\left( f'(x) \right)}^{2}}+\dfrac{f''(\delta x)}{2}{{\left( f'(x) \right)}^{2}}\ge 0$.

Bài toán được minh chứng trọn vẹn.

Ví dụ 5: Sử dụng Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange nhằm minh chứng $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}>\dfrac{51}{35}.$

Giải. Xét $f\left( x \right)={{e}^{x}}$ tớ sở hữu ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{e}^{x}},\forall n=1,2,...\Rightarrow {{f}^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)=1,\forall n=1,2,...$

Khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange

$f\left( x \right)=f\left( 0 \right)+\dfrac{{f}'\left( 0 \right)}{1}x+\dfrac{{f}''\left( 0 \right)}{2!}{{x}^{2}}+...+\dfrac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)}{n!}{{x}^{n}}+\dfrac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( c \right)}{\left( n+1 \right)!}{{x}^{n+1}}$

$=1+x+\dfrac{1}{2!}{{x}^{2}}+...+\dfrac{1}{n!}{{x}^{n}}+\dfrac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( c \right)}{\left( n+1 \right)!}{{x}^{n+1}}$

Chọn $n=3\Rightarrow f\left( x \right)=1+x+\dfrac{1}{2!}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3!}{{x}^{3}}+\dfrac{{{f}^{\left( 4 \right)}}\left( c \right)}{4!}{{x}^{4}}\ge 1+x+\dfrac{1}{2!}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3!}{{x}^{3}},\forall x$ vì thế ${{f}^{\left( 4 \right)}}\left( c \right)>0;{{x}^{4}}\ge 0.$ Dấu bởi vì xẩy ra Lúc $x=0.$

$\Rightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}\ge 1+{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2!}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{3!}{{x}^{6}}\left( * \right).$ Dấu bởi vì xẩy ra Lúc $x=0.$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{\left( 1+{{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{4}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{6}}}{3!} \right)dx}=\dfrac{51}{35}\left( ** \right).$ Vì vệt bởi vì ở (*) chỉ xẩy ra bên trên $x=0$ nên (**) ko xẩy ra vệt bởi vì. Ta sở hữu điều nên minh chứng.

6. Ứng dụng khai triển Taylor nhằm tính đạo hàm cung cấp cao bên trên điểm x=0.

Ví dụ 1: Khai triển Mac – Laurin của hàm số \[f(x)=({{x}^{3}}+1){{e}^{{{x}^{3}}}}\] kể từ tê liệt tính đạo hàm ${{f}^{2019}}(0).$

Áp dụng công thức ${{e}^{x}}=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{n}}}{n!}+o({{x}^{n}})$ tớ có

$\begin{gathered} f(x) = \left( {{x^3} + 1} \right){e^{{x^3}}} = {x^3}{e^{{x^3}}} + {e^{{x^3}}} \\ = {x^3}\left( {1 + \dfrac{{{x^3}}}{{1!}} + \dfrac{{{x^6}}}{{2!}} + \dfrac{{{x^9}}}{{3!}} + ... + \dfrac{{{x^{3n - 3}}}}{{(n - 1)!}} + o({x^{3n - 3}})} \right) + \left( {1 + \dfrac{{{x^3}}}{{1!}} + \dfrac{{{x^6}}}{{2!}} + \dfrac{{{x^9}}}{{3!}} + ... + \dfrac{{{x^{3n}}}}{{(n - 1)!}} + o({x^{3n}})} \right) \\ = 1 + 2{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^6} + \dfrac{2}{3}{x^9} + ... + \left( {\dfrac{1}{{(n - 1)!}} + \dfrac{1}{{n!}}} \right){x^{3n}} + o({x^{3n}}). \\ \end{gathered} $

Do tê liệt $\dfrac{{{f}^{(3n)}}(0)}{(3n)!}=\dfrac{1}{(n-1)!}+\dfrac{1}{n!}\Rightarrow {{f}^{(2019)}}(0)=2019!\left( \dfrac{1}{672!}+\dfrac{1}{673!} \right).$

Ví dụ 2: Khai triển Mac – Laurin của hàm số \[f(x)=({{x}^{2}}+1)\cos x,\] kể từ tê liệt tính đạo hàm ${{f}^{2020}}(0).$

Áp dụng công thức $\cos x=1-\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{4}}}{4!}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{(2n)!}{{x}^{2n}}+o({{x}^{2n}}).$

Ta có

$\begin{gathered} f(x) = ({x^2} + 1)\cos x = {x^2}\cos x + \cos x \\ = {x^2}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{x^4}}}{{4!}} - ... + \dfrac{{{{( - 1)}^{n - 1}}{x^{2n - 2}}}}{{(2n - 2)!}} + o({x^{2n - 2}})} \right) + \left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{x^4}}}{{4!}} - ... + \dfrac{{{{( - 1)}^n}{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + o({x^{2n}})} \right) \\ = 1 - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{{11}}{{24}}{x^4} + ... + \left( {\dfrac{{{{( - 1)}^n}}}{{(2n)!}} + \dfrac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{(2n - 2)!}}} \right){x^{2n}} + o({x^{2n}}). \\ \end{gathered} $

Do tê liệt $\dfrac{{{f}^{(2n)}}(0)}{(2n)!}=\dfrac{{{(-1)}^{n}}}{(2n)!}+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{(2n-2)!}\Rightarrow {{f}^{(2020)}}(0)=2020!\left( \dfrac{1}{2020!}-\dfrac{1}{2018!} \right).$

Ví dụ 3: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)$ kể từ tê liệt tính ${{f}^{(2020)}}(0).$

Áp dụng công thức: $\ln (1+x)=x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3}-...+\frac{{{(-1)}^{n-1}}{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}}).$

Do tê liệt $f(x)=\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)={{x}^{2}}-\frac{{{x}^{4}}}{2}+\frac{{{x}^{6}}}{3}-...+\frac{{{(-1)}^{n-1}}{{x}^{2n}}}{n}+o({{x}^{2n}})\Rightarrow \frac{{{f}^{(2n)}}(0)}{(2n)!}=\frac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}\Rightarrow {{f}^{(2020)}}(0)=-\frac{2020!}{1010}.$

Ví dụ 4: Dùng khai triển Mac – laurin của hàm số $f(x)=\arcsin x$ tính ${{f}^{(21)}}(0).$

Giải. Áp dụng công thức: ${{(1+x)}^{\alpha }}=1+\dfrac{\alpha }{1!}x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{{x}^{2}}+...+\dfrac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -(n-1))}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}}).$

Ta sở hữu \[{f}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{-\dfrac{1}{2}}}=1+\dfrac{1}{1!}\times -\dfrac{1}{2}\left( -{{x}^{2}} \right)+\dfrac{1}{2!}\times -\dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{1}{2}-1 \right){{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{2}}+...+\dfrac{1}{10!}\times -\dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{1}{2}-1 \right)...\left( -\dfrac{1}{2}-9 \right){{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{10}}+o({{x}^{20}}).\]

Do tê liệt ${{f}^{(21)}}(0)={{\left( {f}'(x) \right)}^{(20)}}(0)=20!\left( \dfrac{1}{10!}\times -\dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{1}{2}-1 \right)...\left( -\dfrac{1}{2}-9 \right) \right)=\dfrac{20!19!!}{{{2}^{10}}10!}.$

Trong tê liệt $19!!=1\times 3\times 5\times 7\times 9\times 11\times 13\times 15\times 17\times 19.$

7. Ứng dụng khai triển Taylor với phần dư dạng Lagrange tính ngay gần giá chuẩn trị biểu thức

Ví dụ 1: Khai triển Taylor hàm số $f(x)=\sqrt[5]{x+1}$ cho tới cung cấp 2 bên trên điểm $x=31,$ kể từ tê liệt tính $\sqrt[5]{33}$ và reviews sai số.

Ta khai triển với phần dư dạng Lagrange:

$\begin{gathered} f(x) = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{1}{5}}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{5}{\left( {x + 1} \right)^{ - \frac{4}{5}}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{4}{{25}}{\left( {x + 1} \right)^{ - \frac{9}{5}}} \Rightarrow f'''(x) = \frac{{36}}{{125}}{\left( {x + 1} \right)^{ - \frac{{14}}{5}}} \hfill \\ \Rightarrow f(31) = 2;f'(31) = \frac{1}{{5 \times {2^4}}};f''(31) = - \frac{4}{{25 \times {2^9}}} \hfill \\ \Rightarrow f(x) = 2 + \frac{1}{{5 \times {2^4}}}(x - 31) - \frac{4}{{25 \times {2^9} \times 2!}}{(x - 31)^2} + \frac{{36}}{{125 \times 3! \times {{\left( {c + 1} \right)}^{\frac{{14}}{5}}}}}{(x - 31)^3}. \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $\sqrt[5]{33}=\sqrt[5]{32+1}=f(32)\approx 2+\frac{1}{5\times {{2}^{4}}}(32-31)-\frac{4}{25\times {{2}^{9}}\times 2!}{{(32-31)}^{2}}=2,01234375.$

Sai số là $\frac{36}{125\times 3!\times {{\left( c+1 \right)}^{\frac{14}{5}}}}{{(32-31)}^{3}}=\frac{6}{125{{\left( c+1 \right)}^{\frac{14}{5}}}}<\frac{6}{125{{\left( 31+1 \right)}^{\frac{14}{5}}}}\approx 2,{{9.10}^{-6}},c\in \left( 31;32 \right).$

Ví dụ 2: Tính tầm ${{e}^{0,1}}$ với sai số nhỏ nhiều hơn ${{10}^{-4}}.$

Giải. Có ${{e}^{x}}=1+x+\dfrac{1}{2!}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3!}{{x}^{3}}+...+\dfrac{1}{n!}{{x}^{n}}+\dfrac{1}{(n+1)!}{{e}^{c}}{{x}^{n+1}}$ với $c$ nằm trong lòng 0 và x.

Tại điểm $x=0,1$ sai số là ${{\varepsilon }_{n}}=\dfrac{1}{(n+1)!}{{e}^{c}}{{\left( 0,1 \right)}^{n+1}};c\in \left( 0;0,1 \right).$ Ta sở hữu ${{\varepsilon }_{3}}<\dfrac{{{e}^{0,1}}}{(3+1)!}{{\left( 0,1 \right)}^{3+1}}<{{10}^{-4}}.$

Vậy ${{e}^{0,1}}\approx 1+0,1+\dfrac{1}{2!}{{\left( 0,1 \right)}^{2}}+\dfrac{1}{3!}{{\left( 0,1 \right)}^{3}}=\dfrac{6631}{6000}.$

Hiện bên trên Vted.vn xây đắp 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH khối ngành Kinh tế của toàn bộ những trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học tập hỗ trợ khá đầy đủ kỹ năng và kiến thức và cách thức giải bài bác luyện những dạng toán đi kèm theo từng bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài bác luyện tập luyện dạng Tự luận sở hữu điều giải cụ thể bên trên trang web sẽ hỗ trợ học tập viên học tập thời gian nhanh và áp dụng chắc chắn là kỹ năng và kiến thức. Mục chi tiêu của khoá học tập canh ty học tập viên đạt điểm A đua cuối kì những học tập phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong những ngôi trường kinh tế tài chính.

Sinh viên những ngôi trường ĐH tại đây rất có thể học tập được bộ combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

Xem thêm: phim mat

và những ngôi trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của những ngôi trường ĐH không giống bên trên từng toàn quốc...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY