bài tập toán cao cấp ma trận có lời giải

Đại số quái trận được phân tích và cách tân và phát triển một cơ hội khối hệ thống vô năm 1858 vày Arthur Cayley mang về nhiều phần mềm hữu ích. Bài ghi chép tiếp sau đây TTnguyen tiếp tục share kỹ năng cơ phiên bản với mọi dạng bài xích luyện quái trận sở hữu câu nói. giải cụ thể gom chúng ta ôn luyện đơn giản dễ dàng. Bắt đầu thôi!

Bạn đang xem: bài tập toán cao cấp ma trận có lời giải

Xem thêm:

• ma trận bậc thang
• ứng dụng của đại số tuyến tính

1. Ma trận là gì toán cao cấp?

Ma trận là một trong những mảng hai phía những số được bố trí trở thành những mặt hàng và cột. Mỗi thành phần vô quái trận được xác định vày một cặp chỉ số, thông thường là số vẹn toàn ko âm, một chỉ số dùng để làm xác lập mặt hàng và một chỉ số không giống dùng để làm xác lập cột. Ma trận thông thường được ký hiệu vày vần âm in hoa: A,B,C.

• Ma trận cỡ m x n là 1 trong bảng số hình chữ nhật bao gồm m mặt hàng, n cột.
• Kí hiệu quái trận : A = (a_ij) _{m x n}.
• Ví dụ bên dưới đấy là một quái trận:

Ma trận mxn

Ma trận có không ít hình dạng không giống nhau tuỳ nằm trong vô số mặt hàng và cột. Thông thường quái trận với m mặt hàng và n cột thông thường được gọi là quái trận m x n. Với quái trận sở hữu độ dài rộng 1 x n được gọi là quái trận mặt hàng, quái trận sở hữu độ dài rộng m x 1 được gọi là quái trận cột. Ma trận cỡ n x n được gọi là quái trận vuông.

Với quái trận A là quái trận 3×4 sở hữu aij. Thì quái trận A được biểu thị như sau:

Tóm lại: 

• Nếu quái trận cỡ m x n, thì nó sở hữu m mặt hàng và n cột.
• Phần tử quái trận a_ij nghĩa là thành phần nằm ở vị trí mặt hàng i cột j.

Ma trận cung cấp 2

Một quái trận cung cấp 2 là một trong những quái trận sở hữu độ dài rộng 2 mặt hàng và 2 cột. Dưới đấy là một ví dụ về quái trận cung cấp 2:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2\\
4 & 5
\end{vmatrix}\)

Liên quan: trắc nghiệm đại số tuyến tính sở hữu đáp án

Ma trận 0

Ma trận 0 là những thành phần đều vày 0.

Ma trận đàng chéo

Ma trận đàng chéo cánh là quái trận vuông nhưng mà những thành phần ngoài đàng chéo cánh chủ yếu vày 0.

Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị chức năng là quái trận sở hữu những thành phần đàng chéo cánh vày 1.

Ma trận tam giác trên

Ma trận tam giác bên trên là quái trận vuông nhưng mà những thành phần ở bên dưới đàng chéo cánh chủ yếu vày 0.

Lưu ý: Nếu quái trận sở hữu đàng chéo cánh chủ yếu vày 0, nó được gọi là quái trận tam giác bên trên.

Ví dụ:

\(\begin{vmatrix}
0 & 2& 3\\
0 & 0& 0\\
0 & 0& 0
\end{vmatrix}\)

Ma trận tam giác dưới

Một quái trận tam giác bên dưới là một trong những quái trận vô cơ toàn bộ những thành phần phía trên đàng chéo cánh chủ yếu và bên trên đàng chéo cánh chủ yếu đều vày 0. Các thành phần bên trên đàng chéo cánh chủ yếu hoàn toàn có thể là 0 hoặc không giống 0. Dưới đấy là một ví dụ về quái trận tam giác dưới:

\(\begin{vmatrix}
1 & 0& 0\\
2 & 3& 0\\
4 & 5& 6
\end{vmatrix}\)
Trong ví dụ này, những thành phần phía trên đàng chéo cánh chủ yếu và bên trên đàng chéo cánh chủ yếu đều vày 0, và những thành phần còn sót lại hoàn toàn có thể là ngẫu nhiên độ quý hiếm này. Ma trận tam giác bên dưới sở hữu dạng tam giác với những thành phần không giống 0 chỉ ở bên dưới đàng chéo cánh chủ yếu.

Ma trận trả vị của A

Ma trận bậc thang

• Nếu những mặt hàng = 0 thì nên ở bên dưới cùng
• Nếu những mặt hàng ≠ 0 thì thành phần trước tiên của mặt hàng bên dưới nên nghiêng quý phái nên thành phần ≠ 0  trước tiên mặt hàng trên

Xem tăng phương pháp tính hạng của quái trận: Hạng của quái trận – bài xích luyện & câu nói. giải chi tiết

3. Các đặc thù của quái trận

Giả sử A,B,C là những quái trận nằm trong cỡ, k,t là những số thực ngẫu nhiên. Khi đó:

1. A+B = B+A
2. (A+B)+C = A+ (B+C)
3. A+0 = 0+A = A
4. A+(-A) = (-A)+A=0
5. k(A+B)=kA+kB
6. (k+t)A = kA+tA
7. k(tA) = kt(A)
8. 1.A=A
9. 0.A=0
10. A(B+C) = AB+AC
11. (A+B)C = AC+BC
12. (kA)B = A(kB) = k(AB)
13. AI=IA=A
14. (AB)^T = B^T.A^T

4. Các luật lệ toán quái trận

Các luật lệ toán bên trên quái trận là quy trình tiến hành những luật lệ tính số học tập và đại số bên trên những thành phần của quái trận. Dưới đấy là một trong những luật lệ toán cơ phiên bản bên trên quái trận:

2 quái trận vày nhau

Hai quái trận gọi là cân nhau nếu như bọn chúng nằm trong cỡ (cùng cấp) và những thành phần tƣơng ứng ở nằm trong địa điểm thì vày nhau

Ví dụ về 2 quái trận cân nhau là:

Ma trận A:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2& 3\\
4 & 5& 6\\
7 & 8& 9
\end{vmatrix}\)

Ma trận B:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2& 3\\
4 & 5& 6\\
7 & 8& 9
\end{vmatrix}\)

Ma trận A và quái trận B sở hữu nằm trong độ dài rộng là 3 mặt hàng và 3 cột và những thành phần vô nằm trong địa điểm của nhị quái trận này đều tương đương nhau. Do cơ, tao nói theo một cách khác rằng nhị quái trận A và B là cân nhau.

Xem thêm: giáo trình đại số tuyến tính

Cách nằm trong 2 quái trận

Để nằm trong nhị quái trận nằm trong độ dài rộng, chúng ta chỉ việc nằm trong từng thành phần ứng của nhị quái trận lại cùng nhau. Cụ thể, quá trình nhằm nằm trong nhị quái trận như sau:

Đảm nói rằng nhị quái trận sở hữu nằm trong độ dài rộng (cùng số mặt hàng và số cột).

Cộng từng thành phần ứng của nhị quái trận lại cùng nhau. Như vậy Tức là thành phần ở mặt hàng i, cột j của quái trận thành phẩm được xem là tổng của thành phần ở mặt hàng i, cột j của quái trận loại nhất và thành phần ở mặt hàng i, cột j của quái trận loại nhị.

Lưu ý: Không nằm trong 2 quái trận không nằm trong cấp

Tính chất:

• Với A, B, C là quái trận ngẫu nhiên cùng cỡ thì: A+B = B+A ; A+(B+C) = (A+B)+C
• Ma trận này cùng theo với quái trận ko cũng vày chủ yếu nó: 0+X=X
• Phép trừ quái trận: A-B được xác lập bởi: A-B=A+(-B)

Ví dụ 1: Tính -A, A-B và A+B-C những quái trận sau:

Ví dụ 2: Tìm quái trận X sau:

Giải

Phép trừ 2 quái trận

Để trừ nhị quái trận nằm trong độ dài rộng, bạn phải trừ từng thành phần ứng của nhị quái trận lại cùng nhau. Cụ thể, quá trình nhằm trừ nhị quái trận như sau:

Bước 1: Đảm nói rằng nhị quái trận sở hữu nằm trong độ dài rộng (cùng số mặt hàng và số cột).

Bước 2: Trừ từng thành phần ứng của nhị quái trận.

Bước 3: Ghi lại thành phẩm vô quái trận thành phẩm.

Dưới đấy là một ví dụ ví dụ về luật lệ trừ nhị quái trận:

Ma trận A:

\(\begin{vmatrix}
5 & 8\\
3 & 2
\end{vmatrix}\)

Ma trận B:

\(\begin{vmatrix}
2 & 4\\
1 & 1
\end{vmatrix}\)

Bước 1: Xác quyết định nhị quái trận sở hữu nằm trong độ dài rộng (2 mặt hàng, 2 cột).

Xem thêm: chuyên đề ôn thi đại học môn hóa

Bước 2: Trừ từng thành phần ứng của nhị quái trận:

5 – 2 = 3; 8 – 4 = 4
3 – 1 = 2; 2 – 1 = 1

Ma trận kết quả:

\(\begin{vmatrix}
3 & 4\\
2 & 1
\end{vmatrix}\)

Cách nhân 2 quái trận

Điều khiếu nại nhằm nhân 2 quái trận

Để nhân nhị quái trận, tao nên đáp ứng một trong những điều kiện:

• Số cột của quái trận trước tiên nên ngay số mặt hàng của quái trận loại nhị. Nếu quái trận trước tiên sở hữu độ dài rộng m x n (m mặt hàng và n cột), thì quái trận loại nhị nên sở hữu độ dài rộng n x p (n mặt hàng và p cột).
• Kết trái khoáy của luật lệ nhân nhị quái trận tiếp tục là một trong những quái trận mới nhất sở hữu độ dài rộng m x p (m mặt hàng và p cột).

Ma trận nhân với cùng 1 số

Nếu A là một trong những quái trận ngẫu nhiên và k là một trong những ngẫu nhiên thì quái trận kA được xem bằng phương pháp nhân từng thành phần của quái trận A với k

Ví dụ nhân quái trận với cùng 1 số:

Lưu ý:

Nếu A là một trong những quái trận ngẫu nhiên, thì quái trận kA sở hữu kích thước tương đương A và: 0A=0 ; k0=0

Cách nhân 2 quái trận không giống cấp

Muốn nhân quái trận A với quái trận B thì nên sở hữu điều kiện:

• số cột quái trận A ngay số mặt hàng quái trận B

Lấy thành phần đứng ở mặt hàng i cột j vô quái trận A, tao lấy theo lần lượt từng thành phần đứng ở mặt hàng i vô quái trận A nhân với
từng thành phần ứng đứng ở cột j vô quái trận B rồi nằm trong lại.

Ví dụ:

1.1+1.3 = 4    1.2+1.4=6       1.3+1.4=7

3.1+7.3=24     3.2+7.4=34    3.3+7.4=37

Bài luyện nhân 2 quái trận

Cách nhân quái trận 2×2

\(\begin{vmatrix}
4 & 5\\
6 & 7
\end{vmatrix}.
\begin{vmatrix}
2 & 1\\
2 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
4*2+5*2 & 4*1+5*1\\
6*2+7*2 & 6*1+7*1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
18 & 9\\
26 & 13
\end{vmatrix}\)

Nhân 2 quái trận 3×3

\(\left(\begin{matrix}
4 & 5 & 5 \\
6 & 7 & 3 \\
6 & 2 & 1
\end{matrix}\right).\left(\begin{matrix}
2 & 1 & 4 \\
2 & 1 & 2 \\
6 & 2 & 1
\end{matrix}\right)\)

Cách nhân quái trận 4×4

\(\left(\begin{matrix}
4 & 5 & 5 & 3 \\
6 & 7 & 3 & 1 \\
6 & 2 & 1 & 6 \\
9 & 7 & 2 & 1
\end{matrix}\right).\left(\begin{matrix}
2 & 1 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 4 \\
6 & 2 & 1 & 2 \\
8 & 5 & 1 & 4
\end{matrix}\right)\)

\(\left(\begin{matrix}
72 & 34 & 34 & 46 \\
52 & 24 & 42 & 44 \\
70 & 40 & 35 & 40 \\
52 & 25 & 53 & 45
\end{matrix}\right)\)

Cách nhân 3 quái trận

Để nhân tía quái trận, tao vận dụng luật lệ nhân quái trận theo đòi trật tự. Khi nhân nhiều quái trận, tao sở hữu một trong những quy tắc cần thiết tuân theo:

• Đảm nói rằng số cột của quái trận đứng trước ngay số mặt hàng của quái trận đứng sau.
• Nhân nhị quái trận theo đòi trật tự và ghi lại thành phẩm.
• Tiếp tục nhân thành phẩm của nhị quái trận với quái trận tiếp theo sau và tái diễn tiến độ như thế cho đến Lúc nhân không còn toàn bộ những quái trận.

Dưới đấy là một ví dụ ví dụ về luật lệ nhân tía quái trận:

Ma trận A:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{vmatrix}\) \(\begin{vmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{vmatrix}\) \(\begin{vmatrix}
9 & 10\\
11 & 12
\end{vmatrix}\)

Ma trận A.B:

\(\begin{vmatrix}
19 & 22\\
43 & 50
\end{vmatrix}\)

Ma trận AB.C:

\(\begin{vmatrix}
377 & 430\\
901 & 1030
\end{vmatrix}\)

Các dạng bài xích luyện quái trận và cơ hội giải

1.Tìm quái trận x thoả mãn:

a/

b/

c/ Tìm a thoả mãn:

d/Tìm a thoả mãn quái trận

2. Chứng minh quái trận

3. So sánh quái trận AB,BA

Để đối chiếu nhị quái trận AB và BA, tao cần thiết đo lường thành phẩm của luật lệ nhân nhị quái trận cơ.

Ma trận AB:

\(\begin{vmatrix}
1*4+2*2 & 1*3+2*1\\
3*4+4*2 & 3*3+4*1
\end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix}
8 & 5\\
20 & 13
\end{vmatrix}\)

Ma trận BA:

\(\begin{vmatrix}
4*1+3*3 & 4*2+3*4\\
2*1+1*3 & 2*2+1*4
\end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix}
13& 20\\
5 & 8
\end{vmatrix}\)

Kết trái khoáy đã cho chúng ta thấy AB và BA ko cân nhau.

Bài ghi chép liên quan: Độc lập tuyến tính và Phụ nằm trong tuyến tính – Bài luyện & câu nói. giải

3. Bài luyện quái trận bậc thang sở hữu câu nói. giải

Ví dụ: Đưa quái trận sau về quái trận bậc thang:

Hướng dẫn giải

Như vậy tao tiếp tục hoàn thiện trả quái trận về dạng quái trận bậc thang

Xem thêm: Ma trận nghịch tặc đảo

Tải tệp tin bài luyện về quái trận và lý thuyết quái trận

Hi vọng qua loa nội dung bài viết bên trên chúng ta tiếp tục nắm rõ kỹ năng cơ phiên bản và biết cách giải quái trận theo đòi đòi hỏi việc môn đại số và hình giải tích. Cảm ơn chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm tư liệu bên trên nmec.edu.vn

Xem thêm: đề thi toán vào 10 hà nội 2018