Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến

1. CÁC VÍ DỤ MỞ ĐẦU:

Bạn đang xem: bài tập hàm nhiều biến có lời giải

Trong quy trình đo lường và tính toán nhằm xác lập một dữ khiếu nại nào là cơ, tao thông thường cần xác lập thật nhiều thông số kỹ thuật.

Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác lập bởi: $V = {\pi}r^2h$

Như vậy, xác lập được nửa đường kính r và độ cao h tao tính được thể tích V. $(r,h) \rightarrow V= f(r,h)$

Ví dụ 2: Bài toán về con cái nhấp lên xuống toán học tập.

Cho một hóa học điểm lượng m, vận động theo dõi một đàng tròn xoe L vô mặt mũi bằng trực tiếp đứng, bên dưới tính năng của trọng tải. Nếu bỏ lỡ mức độ cản (lực ma mãnh sát, mức độ cản ko khí…) thì phương trình vận động của hóa học điểm là:

$s = s_0 \sin \left( \sqrt{ \dfrac{g}{l}}t \right)$ ; l nửa đường kính, s0 biên phỏng.

Nghĩa là: $(s_0, l, t)$ tiếp tục xác lập được địa điểm của hóa học điểm M bên trên thời hạn t: $s = f(s_0, l, t)$

Ví dụ 3: Tốc phỏng phân diệt của một hóa học cung cấp tan tỉ lệ thành phần thuận với lượng của chính nó bên trên từng thời gian. Khối lượng của hóa học cung cấp tan sót lại sau thời hạn t được xác lập bởi: $m = m_0e^{-kt}$

trong đó: m0 lượng lúc đầu, k thông số phân tan, t thời hạn.

Vậy: $(m_0, k, t) \rightarrow m = g(m_0, k, t)$

Ví dụ 4: Tầm ra đi R của đàng cất cánh của viên đạn phun rời khỏi với véc tơ vận tốc tức thời ban đầu $V_0$ kể từ nòng súng thực hiện với đàng ở ngang một góc $\varphi$ được xác lập bởi:

$R = \dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\varphi }{g} \Rightarrow (v_0, \varphi) \rightarrow R(v_0, \varphi)$ .

2. ĐỊNH NGHĨA HÀM NHIỀU BIẾN:

Giả sử D là tụ tập của n số thực $(x_1, x_2, ..., x_n)$ . Một hàm số thực f bên trên D là 1 trong những biểu thức (quy tắc toán học) ứng từng thành phần của D xác lập một độ quý hiếm thực $w = f(x_1, x_2, ..., x_n)$ . Ký hiệu: $f : D \rightarrow R$ .

Khi đó: f là 1 trong những hàm số của n trở nên số song lập $x_1, x_2, ..., x_n$ xác lập bên trên D.

Trong tình huống hàm nhị trở nên, tao sử dụng ký hiệu z = f(x, y)

Tập thích hợp toàn bộ những độ quý hiếm $x_1, x_2, ..., x_n$ thực hiện cho tới biểu thức f với nghĩa được gọi là miền xác lập của hàm số f, ký hiệu $D_f$ .

Nếu ứng cặp độ quý hiếm (x, y) với cùng một điểm M(x,y) vô mặt mũi bằng Oxy thì miền xác lập của hàm số đó là tụ tập những điểm vô mặt mũi bằng sao cho tới bên trên những điểm cơ hàm số được xác lập. Vì vậy, miền xác lập của hàm số nhị trở nên thông thường được màn trình diễn hình học tập.

Tập thích hợp những độ quý hiếm w được xác lập vị hàm số f được gọi là miền độ quý hiếm của hàm số.

Ví dụ: Tìm miền xác lập và miền độ quý hiếm của hàm số: $z = \sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

Ta với miền xác lập $ latex D_f = \left\{(x, y): 1 -x^2 -y^2 \ge 0 \right\} $. Đó là những điểm trực thuộc hình tròn trụ tâm O, nửa đường kính 1.

Biểu biểu diễn hình học:

hnb1 3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

3.1 Khoảng cách:

Giả sử $M(x_1,x_2,...,x_n), N(y_1, y_2, ...,y_n)$ là nhị điểm vô $R^n$ . Khoảng cơ hội thân thuộc nhị điểm ấy, ký hiệu là d(M,N), được cho tới vị công thức:

$d(M,N) = {{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-{{y}_{i}} \right)}^{2}}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$

3.2 Lân cận:

Cho $M_0$ là 1 trong những điểm nằm trong $R^n$ . Lân cận (bán kính $\varepsilon$ hoặc $\varepsilon$ – lân cận) của $M_0$ là tụ tập toàn bộ những điểm M của $R^n$ sao cho tới $d(M,M_0) < \varepsilon$ . Ký hiệu $B(M_0, \varepsilon)$

3.3 Điểm trong: (Interrior point)

E là 1 trong những tụ tập vô $\mathbb{R}^n$ . Điểm $M \in E$ được gọi là vấn đề vô (int) của E nếu: $\exists r>0: B(M,r) \subset E$

(Vẽ hình minh họa)

3.4 Điểm biên: (Boundary point)

Điểm M được gọi là vấn đề biên của E nếu như từng phụ cận của M đều sở hữu chứa chấp điểm nằm trong E và điểm ko nằm trong E. Tập thích hợp những điểm biên được gọi là biên của E ký hiệu $\delta$

(Vẽ hình minh hoạ)

3.5 Tập mở: Tập E được gọi là hé (open set) nếu như từng điểm của chính nó đều là vấn đề vô.

Xem thêm: cách tìm tập giá trị của hàm số

3.6 Tập đóng: Tập E được gọi là đóng góp (close set) nếu như nó chứa chấp từng điểm biên của chính nó.

3.7 Tập bị chặn: Tập E được gọi là bị ngăn (giới nội, bounded) nếu: $\exists r>0: E \subset B(0; r)$

3.8 Tập liên thông: Tập E gọi là liên thông nếu như từng cặp điểm P1, P2 vô E luôn luôn với cùng 1 đàng cong liên tiếp nối P1 và P2 và ở trọn vẹn vô E.

Ví dụ: Trong mặt mũi bằng (Oxy) hãy lần một trong những ví dụ về tập dượt hé, tập dượt đóng góp, tập dượt bị ngăn.

4. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM HAI BIẾN:

4.1 Đồ thị hàm nhiều biến: Đối với hàm nhiều trở nên số, tao chỉ hoàn toàn có thể màn trình diễn hình học tập, vị vẽ thiết bị thị, hàm nhị trở nên z = f(x,y).

Đồ thị của hàm số z = f(x,y) là tụ tập $G(f) = \{(x, hắn, f(x,y)) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in D(f) \}$

Đồ thị của hàm số f(x,y) còn được gọi là mặt mũi z = f(x,y). Đây là 1 trong những mặt mũi cong vô không khí tía chiều với hệ tọa phỏng Decartes (Oxyz).

4.2 Đường mức: Tập thích hợp những điểm vô mặt mũi bằng nhưng mà bên trên cơ hàm số f(x,y)f(x,y) = C gọi là đàng nút của hàm f. với cùng 1 độ quý hiếm hằng số

Đường cong này đó là hình chiếu trực diện đứng lên Oxy của giao phó thiết bị thị của hàm với mặt mũi bằng ngang z = C.

Ví dụ: Vẽ thiết bị thị hàm số $f(x,y) = 100 - x^2 - y^2$ và vẽ những đàng nút f(x,y) = 0; f(x,y) = 51, f(x,y) = 75 vô mặt mũi bằng (Oxy).

Trong vận dụng thực tiễn, những phiên bản thiết bị địa lý và khí tượng thuờng ở dạng tập dượt những đàng nút, ví dụ điển hình là những đàng với nằm trong phỏng cao vô phiên bản thiết bị địa hình, những đàng đẳng áp, những đàng đẳng nhiệt… vô phiên bản thiết bị khí tượng.

Nhận xét: Tuy ko hiểu rằng hình dạng của hàm 3 trở nên vô không khí, tuy nhiên tao hoàn toàn có thể sử dụng những đàng nút nhằm màn trình diễn hình học tập hàm 3 trở nên. Thay cho những đàng nút n =3 tao với những mặt mũi nút.

5. CÁC MẶT CONG THÔNG DỤNG:

Ta vẫn biết thiết bị thị của hàm nhị trở nên z= f(x,y) là mặt mũi cong vô không khí tía chiều Oxyz. Bây giờ tao xét những mặt mũi cong đặc biệt quan trọng và đơn giản và giản dị, thông thườn vô toán học tập và phần mềm.

5.1. Mặt phẳng: Mặt bằng là thiết bị thị của hàm nhị trở nên tuyến tính: Ax + By + Cz + D = 0. (1)

Ở phía trên, vectơ n(A,B,C) là véctơ pháp tuyến của mặt mũi bằng. Nếu biết vecto pháp tuyến và một điểm $P(x^0, y^0, z^0)$ của mặt mũi bằng thì nó được xác lập trọn vẹn và với phương trình:

$A(x - x^0) + B(y - y^0) + C(z - z^0) = 0$

Vậy phương trình số 1 (3 biến) là phương trình mặt mũi bằng, dạng tổng quát mắng là (1). Phương trình bậc 2 tổng quát mắng (của 3 biến) là:

$Ax^2 + By^2 +Cy^2 +2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0$

5.2. Mặt bậc 2 suy biến:

Ta với những tình huống đặc biệt quan trọng, gọi là suy trở nên của phương trình (2) như sau:

Tập rỗng: ví dụ: $x^2 = -1$

Một điểm: ví dụ: $x^2 + y^2 + z^2 = 0$

Một đàng thẳng: ví dụ: $x^2 + y^2 = 0$

Một mặt mũi phăng: ví dụ: $x^2 = 0$

Hai mặt mũi bằng tuy vậy song: ví dụ: $y^2 = 1$

Hai mặt mũi bằng giao phó nhau: thí dụ: $xy = 0$ .

Trong những mặt mũi bậc 2 ko suy trở nên, tức là mặt mũi chủ yếu quy, thì những mặt mũi tại đây, nhưng mà tao xét thứu tự, là cần thiết nhất.

5.3. Ellipsoid: là mặt mũi với phương trình: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

Ta thấy tức thì là (x,y,z) nằm trong mặt mũi thì $({\pm}x, {\pm}y, {\pm}z)$ cũng nằm trong mặt mũi, nên mặt mũi này đối xứng qua quýt những mặt mũi bằng tọa phỏng và vì thế này cũng đối xứng qua quýt gốc tọa phỏng. Giao tuyến của chính nó với những mặt mũi bằng tuy vậy song với những mặt mũi bằng tọa phỏng là những đàng ellipse, hoặc là tập dượt trống rỗng.

hnb2 Chẳng hạn giao phó vị mặt mũi bằng z = h được xem là ellipse $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 - \dfrac{h^2}{c^2} \\ z=h \\ \end{array} \right.$ Nếu -c < h < c