bài tập giới hạn dãy số có lời giải

Bạn đang xem: bài tập giới hạn dãy số có lời giải

Giới hạn của mặt hàng số và cơ hội giải bài bác luyện - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Dãy số đem số lượng giới hạn 0

Ta bảo rằng mặt hàng số (u_n) đem số lượng giới hạn là 0 khi n dần dần cho tới dương vô rất rất, nếu như với từng số dương nhỏ tùy ý mang lại trước, từng số hạng của mặt hàng số Tính từ lúc một vài hạng này cơ trở lên đường, |u_n| nhỏ rộng lớn số dương cơ.

Kí hiệu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ hay lim u_n = 0 hoặc $u_n\to 0$ khi $n\to +\infty$.

b) Dãy số đem số lượng giới hạn hữu hạn

Ta bảo rằng mặt hàng số (u_n) đem số lượng giới hạn là số thực L nếu như lim (u_n – L) = 0

Kí hiệu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=L$ hay lim u_n = L hoặc $u_n\to L$ khi $n\to +\infty$.

c) Dãy số đem số lượng giới hạn vô cực

Dãy số (u_n) có giới hạn là $+\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu u_n có thể lớn rộng lớn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở lên đường.

Ký hiệu: $\lim u_n=+\infty$ hoặc $u_n\to +\infty khin\to +\infty$

Dãy số (u_n) có giới hạn là $-\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu $\lim \left(-u_n\right)=+\infty$

Ký hiệu: $\lim u_n=-\infty$ hoặc $u_n\to -\infty khin\to +\infty$

d) Một vài ba số lượng giới hạn quánh biệt

$\lim u_n=0\iff \lim \left|u_n\right|=0$

$\lim \frac{1}{n}=0; \lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim q^n=\left\{\begin{array}{l}0 khi\left|q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\right.$

e) Định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

* Nếu lim u_n = a và lim v_n = b và c là hằng số. Khi cơ tớ có :

lim(u_n + v_n) = a + b

lim(u_n - v_n) = a - b

lim(u_n v_n) = a.b

$\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b},\left(b\ne 0\right)$

lim(cu_n ) = c.a

lim|u_n | = |a|

$\lim \sqrt[3]{u_n}=\sqrt[3]{a}$

Nếu $u_n\ge 0$ với từng n thì $a\ge 0$ và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

* Định lí kẹp: Cho tía mặt hàng số (v_n); (u_n) và (w_n):

Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}\right.$ thì lim u_n = a.

Hệ quả: Cho nhì mặt hàng số (u_n) và (v_n):

Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left|u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}\right.$ thì lim u_n = 0.

f) Một vài ba quy tắc lần số lượng giới hạn vô cực

* Quy tắc lần số lượng giới hạn tích lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

* Quy tắc lần số lượng giới hạn thương

g) Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Xét cấp cho số nhân vô hạn u₁; u₁q; u₁q²; … u₁qⁿ; … đem công bội |q| < 1 được gọi là cấp cho số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn là: $S=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\mathrm{....}=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính số lượng giới hạn dùng một vài ba số lượng giới hạn quánh biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng những số lượng giới hạn quánh biệt:

$\lim u_n=0\iff \lim \left|u_n\right|=0$

$$\begin{gathered} \lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \\ \lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right) \end{gathered}$$

$\lim q^n=\left\{\begin{array}{l}0khi\left|q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{n^2}$

b) $\lim \frac{1}{n^2+n+3}$

c) $\lim \frac{1}{n\sqrt{n}}$

Lời giải

Áp dụng công thức tính số lượng giới hạn đặc trưng, tớ có:

a) $\lim \frac{1}{n^2}=0$

b) $\lim \frac{1}{n^2+n+3}=0$

c) $\lim \frac{1}{n\sqrt{n}}=0$

Ví dụ 2: Tính những số lượng giới hạn sau:

a) $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

b) $\lim {\left(\frac{5}{4}\right)}^{n+1}$

c) lim (-0,999)ⁿ

Lời giải

a) $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ vì $\left|\frac{1}{2}\right|<1$

b) $\lim {\left(\frac{5}{4}\right)}^{n+1}=+\infty$ vì $\frac{5}{4}>1$

c) lim (-0,999)ⁿ = 0 vì như thế |-0,999| < 1.

Dạng 2: Tính số lượng giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường ăn ý lũy quá của n: Chia cả tử và và kiểu mang lại n^k (với n^k là lũy quá với số nón rộng lớn nhất).

Trường ăn ý lũy quá nón n: Chia cả tử và kiểu mang lại lũy quá đem cơ số lớn số 1.

Sử dụng một vài ba số lượng giới hạn quánh biệt:

$\begin{array}{l}\lim u_n=0\iff \lim \left|u_n\right|=0\\ \lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\\ \lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\\ \lim q^n=\left\{\begin{array}{l}0 khi\left|q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\right.\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau

a) $\lim \frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}$

b) $\lim \frac{{\left(-5\right)}^n+4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}+4^{n+1}}$

c) $\lim \frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2+2\sqrt{n}-3}$

Lời giải

a) $\lim \frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}=\lim \frac{\frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4}}{\frac{n^4+4n^3+n}{n^4}}$

$=\lim \frac{-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{4}{n^4}}{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^3}}=\frac{-0+0+4}{1+0+0}=0$

Vì $\lim \frac{2}{n}=0, \lim \frac{3}{n^2}=0,$$\lim \frac{4}{n^4}=0, \lim \frac{4}{n}=0$ và $\lim \frac{1}{n^3}=0$.

b) $\lim \frac{{\left(-5\right)}^n+4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}+4^{n+1}}=\lim \frac{\frac{{\left(-5\right)}^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}}+\frac{4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}}}{\frac{{\left(-7\right)}^{n+1}}{{\left(-7\right)}^{n+1}}+\frac{4^{n+1}}{{\left(-7\right)}^{n+1}}}$

$=\lim \frac{\frac{1}{-7}.{\left(\frac{-5}{-7}\right)}^n+\frac{1}{-7}.{\left(\frac{4}{-7}\right)}^n}{1+{\left(\frac{4}{-7}\right)}^{n+1}}=\frac{\frac{1}{-7}.0+\frac{1}{-7}.0}{1+0}=0$

Vì  $\lim {\left(\frac{-5}{-7}\right)}^n=\lim {\left(\frac{4}{-7}\right)}^n=0$

c) $\lim \frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2+2\sqrt{n}-3}=\lim \frac{\frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2}}{\frac{n^2+2\sqrt{n}-3}{n^2}}$

$=\lim \frac{\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n\sqrt{n}}-\frac{3}{n^2}}=\frac{0+0}{1+0-0}=0$

Vì $\lim \frac{2}{\sqrt{n}}=0,\lim \frac{1}{n^2}=0,$$\lim \frac{2}{n\sqrt{n}}=0,\lim \frac{3}{n^2}=0$

Ví dụ 2: Tính những số lượng giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Tính số lượng giới hạn hữu hạn dùng cách thức liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức phối hợp (thường dùng trong số Việc chứa chấp căn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau: $\lim \left(\sqrt[3]{n^3+3n^2}-n\right)$

Lời giải

Dạng 4: Tính số lượng giới hạn đi ra vô rất rất dạng chứa chấp nhiều thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của nhiều thức làm nhân tử cộng đồng.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn cho tới vô rất rất lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những số lượng giới hạn sau

a) $\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)$

b) $\lim \left(n^2-n\sqrt{4n+1}\right)$

Lời giải

Dạng 5: Tính số lượng giới hạn đi ra vô rất rất dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và kiểu đi ra làm nhân tử cộng đồng.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn cho tới vô rất rất lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n^4-3n^3+2}{n^3+2}$

b) $\lim \frac{\left(2n-1\right){\left(3n^2+2\right)}^3}{-2n^5+4n^3-1}$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau $\lim \frac{3n^2-\sqrt{2n^4+3n-2}}{4n-\sqrt{3n^2+2}}$.

Lời giải

Dạng 6: Tính số lượng giới hạn dùng toan lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng toan lý cặp và hệ trái khoáy của toan lý kẹp

Định lí kẹp: Cho tía mặt hàng số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}\right.$ thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho nhì mặt hàng số (u_n) và (v_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left|u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}\right.$ thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n+4}$

b) $\lim \left(\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những số lượng giới hạn sau :

a) $\lim \frac{{\sin }^{2}n}{n+2}$

b) $\lim \frac{1+\cos n^3}{2n+3}$

Lời giải

Xem thêm: tổng hợp công thức lý 11 học kì 1

Dạng 7: Giới hạn mặt hàng số đem công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho mặt hàng số (u_n) ở dạng công thức truy hồi, biết (u_n) đem số lượng giới hạn hữu hạn

Giả sử lim u_n = a (a là số thực) thì lim u_n+1 = a.

Thay a vô công thức truy hồi. Giải phương trình lần a.

Ta được số lượng giới hạn của (u_n) là lim u_n = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim u_n biết (u_n) đem số lượng giới hạn hữu hạn và $\left(u_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2},n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$

Lời giải

Giả sử lim u_n = a, khi cơ lim u_n+1 = a

Suy ra $a=\frac{2\text{a}+3}{a+2}\Rightarrow a^2+2a=2a+3$$\iff a^2=3\iff a=\pm \sqrt{3}$

Do $u_1=1>0,u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $a>0\Rightarrow a=\sqrt{3}$

Vậy $\lim u_n=\sqrt{3}$.

Ví dụ 2: Tìm lim u_n biết (u_n) đem số lượng giới hạn hữu hạn và $\left(u_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$.

Lời giải

Vì $u_1=\sqrt{2}>0;u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}>0$

Giả sử lim u_n = a (a > 0), khi cơ lim u_n+1 = a

Suy đi ra $a=\sqrt{2+a}\iff a^2=a+2$

$$\begin{gathered} \iff a^2-a-2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}a=-1\left(Loại\right)\\ a=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy lim u_n = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn gàng (u_n) (sử dụng tổng cấp cho số nằm trong, cấp cho số nhân hoặc cách thức thực hiện trội)

* Rồi lần lim u_n theo gót toan lí hoặc người sử dụng nguyên vẹn lí toan lí cặp.

* Định lí kẹp: Cho tía mặt hàng số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}\right.$ thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho nhì mặt hàng số (u_n) và (v_n): Nếu $\left\{\begin{array}{l}\left|u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}\right.$ thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

a) $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)$

b) $\lim \frac{1+2+3+4+\mathrm{...}+n}{\left(1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n\right).\left(n+1\right)}$

Lời giải

b) $L=\lim \frac{1+2+3+4+\mathrm{...}+n}{\left(1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n\right).\left(n+1\right)}$

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một trong mặt hàng số nằm trong cấp cho số nằm trong đem n số hạng với u₁ = 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của cấp cho số cộng: $S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}=\frac{\left(1+n\right)n}{2}.$

Xét kiểu số: Ta thấy 1; 3 ; 3² ; 3³ ; … ; 3ⁿ là một trong mặt hàng số nằm trong cấp cho số nhân đem (n+1) số hạng với u₁ = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp cho số nhân: $S_{n+1}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}.$

 Khi đó: $L=\lim \frac{\frac{\left(1+n\right)n}{2}}{\frac{3^{n+1}-1}{2}.(n+1)}=\lim \frac{n}{3^{n+1}-1}$

Vì $\left|\frac{n}{3^{n+1}-1}\right|=\left|\frac{n}{{3.3}^n-1}\right|<\frac{n}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ và $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$

Nên $L=\lim \frac{n}{3^{n+1}-1}=0$

(Bằng quy hấp thụ tớ luôn luôn đem $n<2^n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $3^n>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$$\Rightarrow 3^{n+1}-3^n={2.3}^n>2>1$$\Rightarrow 3^{n+1}-1>3^n$).

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau: $\lim \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdot \cdot \frac{2n-1}{2n}\right)$

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn là: $S=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\mathrm{....}=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a) $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$

b) $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$

Lời giải

a) $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ là tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và $q=\frac{1}{2}$.

Nên $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

b) $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$ là cấp cho số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và q = 0,9.

Nên $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$$=\frac{1}{1-0,9}=10$.

Ví dụ 2: Biểu thao diễn những số thập phân vô hạn tuần trả đi ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta có $a=0,\mathrm{32111...}=\frac{32}{100}+\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{{10}^4}+\frac{1}{{10}^5}+\mathrm{...}$

Vì $\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{{10}^4}+\frac{1}{{10}^5}+\mathrm{...}$ là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{1}{{10}^3}$ và $q=\frac{1}{10}$

Nên $b=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{{10}^3}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$.

b) Ta có $b=2,\mathrm{151515...}=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{{100}^2}+\frac{15}{{100}^3}+\mathrm{...}$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{{100}^2}+\frac{15}{{100}^3}+\mathrm{...}$ là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{15}{100}$ và $q=\frac{1}{100}$

Nên $b=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$.

3. Bài luyện tự động luyện

Câu 1. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề này là mệnh đề sai?

A. $\lim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$.

B. $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$.

C. $\lim \frac{1}{n^3}=-1$.

D. $\lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0$.

Câu 2. Dãy số này tại đây đem số lượng giới hạn vị 0?

A. ${\left(\frac{4}{3}\right)}^n$.

B. ${\left(-\frac{4}{3}\right)}^n$.

C. ${\left(-\frac{5}{3}\right)}^n$.

D. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

Câu 3. Dãy số này tại đây đem số lượng giới hạn vị 0?

A. $\lim \frac{n^2-2n}{5n+5n^2}$.

B. $\lim \frac{1-2n}{5n+5}$.

C. $\lim \frac{1-2n^2}{5n+5}$.

D. $\lim \frac{1-2n}{5n+5n^2}$.

Câu 4. Tính số lượng giới hạn $\lim \frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}$ bằng

A. 0.

B. 1.

C. $+\infty$.

D. 2.

Câu 5. Cho mặt hàng số (u_n) với $u_n=\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{3n^2+4}$. Khi cơ lim u_n bằng

A. $\frac{1}{3}$.

B. 0.

C. $\frac{2}{3}$.

D. 1.      

Câu 6. Cho mặt hàng số (u_n) với $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{....}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Khi cơ lim u_n bằng

A. 2.

B. 1.

C. $\frac{3}{2}$.

D. Không đem số lượng giới hạn.

Câu 7. Tính $\lim \left(n-\sqrt[3]{8n^3+3n+2}\right)$ bằng:

A. $+\infty$.

B. $-\infty$.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính $\lim \left(n+\sqrt[3]{4n^2-n^3}\right)$ bằng:

A. $-\frac{4}{3}$.

B. $+\infty$.

C. $\frac{4}{3}$.

D. -4.

Câu 9. Tính $\lim \frac{3^n-{2.5}^n}{7+{3.5}^n}$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$.

B. $-\frac{1}{6}$.

C. $\frac{1}{7}$.

D. $-\frac{2}{3}$.

Câu 10. Trong tứ số lượng giới hạn tại đây, số lượng giới hạn này là 0?

A. $\lim \frac{2^n+3}{1-2^n}$.

B. $\lim \frac{\left(2n+1\right){\left(n-3\right)}^2}{n-2n^3}$.

C. $\lim \frac{1-2n^2}{n^2+2n}$.

D. $\lim \frac{2^n+1}{{3.2}^n-3^n}$.

Câu 11. Cho mặt hàng số (u_n) được xác lập vị $u_1=1,u_{n+1}=\frac{2\left(2u_n+1\right)}{u_n+3}$ với từng $n\ge 1$. hiểu mặt hàng số (u_n) đem số lượng giới hạn hữu hạn, lim u_n bằng:

A. -1.

B. 2.

C. 4.

D. $\frac{2}{3}$.

Câu 12. Giới hạn mặt hàng số (u_n) với $u_n=\frac{3n-n^4}{4n-5}$ là

A. $-\infty$.

B. $+\infty$.

C. $\frac{3}{4}$ .

D. 0.

Câu 13. Chọn sản phẩm chính của $\lim \frac{\sqrt{n^3-2n+5}}{3+5n}$.

A. 5.

B. $\frac{2}{5}$.

C. $-\infty$.

D. $+\infty$.

Câu 14. Tổng $S=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{8}\text{+}\mathrm{...}\text{+ }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{2^n}+\mathrm{...}$ bằng:

A. 1.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{3}{4}$.

D. $\frac{2}{3}$.

Câu 15. Biểu thao diễn số thập phân 1,24545454545… như 1 phân số:

A. $\frac{249}{200}$.

B. $\frac{137}{110}$.

C. $\frac{27}{22}$.

D. $\frac{69}{55}$.

Bảng đáp án

Xem tăng những dạng bài bác luyện Toán lớp 9 đem đáp án và điều giải cụ thể khác:

Giới hạn của hàm số và cơ hội giải bài bác tập

Hàm số liên tiếp và cơ hội giải bài bác tập

Phép tịnh tiến thủ và cơ hội giải những dạng bài bác tập

Phép đối xứng tâm và cơ hội giải những dạng bài bác tập

Phép đối xứng trục và cơ hội giải những dạng bài bác tập

Xem thêm: toán lớp 7 tập hợp các số hữu tỉ