bài tập chứng minh phương trình có nghiệm lớp 11

Bài viết lách Cách chứng tỏ phương trình đem nghiệm với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác luyện Cách chứng tỏ phương trình đem nghiệm.

Bạn đang xem: bài tập chứng minh phương trình có nghiệm lớp 11

Cách chứng tỏ phương trình đem nghiệm đặc biệt hoặc, chi tiết

A. Phương pháp giải

+) Áp dụng lăm le lý: Nếu hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm ở trong vòng (a; b).

+) Các bước thực hiện bài bác chứng tỏ phương trình đem nghiệm.

- Cách 1: Biến thay đổi phương trình cần thiết chứng tỏ về dạng f(x) = 0.

- Cách 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho tới f(a) . f(b) < 0

- Cách 3: Chứng minh hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a; b].

 Từ tê liệt suy đi ra phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu một nghiệm nằm trong (a; b).

 Lưu ý: Các bước bên trên hoàn toàn có thể thay cho thay đổi trật tự.

+) Một số chú ý:

- Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong [a; b].

- Nếu hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a; + ∞) và đem f(a) . < 0 thì phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (a; +∞).

- Nếu hàm số f(x) liên tiếp bên trên (-∞; a] và đem f(a) . < 0 thì phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-∞; a).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x³ + x - 1 = 0 đem nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x - 1

Hàm f(x) là hàm nhiều thức nên f(x) liên tiếp bên trên R (định lý cơ bạn dạng về tính chất liên tục)

Suy đi ra hàm f(x) liên tiếp bên trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1)

Ta có: f(0) = 0³ + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy đi ra f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (0; 1) (tính hóa học hàm số liên tục).

Vậy phương trình x³ + x - 1 = 0 đem nghiệm (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 đem tối thiểu nhì nghiệm nằm trong khoảng tầm (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3

Vì f(x) là hàm nhiều thức nên f(x) liên tiếp bên trên R.

Suy đi ra f(x) liên tiếp bên trên những đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)⁴ + 2.(-1)² - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.1⁴ + 2.1² - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (0; 1)

Mà nhì khoảng tầm (-1; 0) và (0; 1) ko giao phó nhau. Từ tê liệt suy đi ra phương trình đang được cho tới đem tối thiểu nhì nghiệm nằm trong (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x⁵ - 5x³ + 4x - 1 = 0 đem chính 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x⁵ - 5x³ + 4x - 1 thì f(x) liên tiếp bên trên R (vì f(x) là hàm nhiều thức).

Ta có:

Vì nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong

Xem thêm: cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Vì nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong khoảng tầm

Vì nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong khoảng tầm

Vì nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong khoảng tầm

Vì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong khoảng tầm (1; 3).

Do những khoảng tầm ko giao phó nhau nên phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 5 nghiệm.

Mà phương trình f(x) = 0 đem bậc là 5, nên nó đem không thật 5 nghiệm

Vậy phương trình f(x) = 0 đem chính 5 nghiệm (đpcm).

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn luôn đem tối thiểu 1 nghiệm âm với từng độ quý hiếm của thông số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4

Ta có:

Mặt không giống hàm số f(x) xác lập là liên tiếp bên trên R nên hàm số liên tiếp bên trên đoạn [-2; 0]

Do tê liệt phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong khoảng tầm (-2; 0).

Vậy phương trình đang được cho tới luôn luôn đem tối thiểu 1 nghiệm âm với từng độ quý hiếm của thông số m.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với từng a, b, c phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 luôn luôn đem nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + ax² + bx + c thì f(x) liên tiếp bên trên R (vì f(x) là hàm nhiều thức).

Ta có: ⇒∃ x₁ > 0 nhằm f(x₁) > 0

Tương tự: ⇒∃ x₂ < 0 nhằm f(x₂) < 0

Như vậy đem x₁ ; x₂ nhằm f(x₁) . f(x₂) < 0 suy đi ra phương trình đem nghiệm x ∈ (x₁; x₂)

Vậy phương trình đang được cho tới luôn luôn đem nghiệm với từng a, b, c.

Săn SALE shopee mon 7:

• Đồ sử dụng học hành giá cực rẻ
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3